devrait être la valeur de e pour y résister ; mais remar-quons que le voussoir agissant a b, fig. 2558, par saiendance àtoumer autour de l’arête a, rend nulle la pres-sion au point intérieur A. tandis qu’elle est maximumau point extérieur o. Il est évident que la voûte ne ré-sistera qu’autant que la pression maximum au point ane dépassera pas la limite k que comporte la pierre dela voûte. La pression étant nulle en A, et k en a, onpeut supposer que chaque élément de e résiste en rftisoniuverse de sa distance au point a, d'où il résulte que lak ke
résistance moyenne est ^, et la résistance totale —.
Cette résistance totale peut être représentée par lasurface d’un triangle, dont la base est k et la hauteur e;son poiut d’application est situé au centre de gravité
du triangle, c'est-à-dire à une distance j de la base, qui
se confond avec ï’arêto a ; et comme le moment de cetterésistance, pris par rapport à l’arête de rotation 6 , doitêtre égal au moment du poids du voussoir agissant 06 ,pris par rapport à ce même axe o, on doit donc avoirke r
-w(y
Dans cette égalité, les longueurs étant représentéesen mètres, et P en kilogrammes, k exprime le nombrede kilogrammes que peut supporter avec sécurité chaquemètre carré de la pierre qui compose la voûte. ( En pra-tique on peut faire travailler la pierre depuis 1 /15 jus-qu’au 1 /'10 de la charge de rupture. )
L’équation précédente ainsi établie donnera la valeurde e, et si cette valeur était différente de celle que l’ona supposée pour déterminer le joint de rupture, on ré-péterait cette détermination en adoptant cette nouvellevaleur de e; et la nouvelle valeur de Pz fourniraitpour e une valeur plus approchée.
Épaisseur des pieds-droits. Lorsque les pieds-droits fontculée, c’est-à-dire lorsqu’ils doivent résister à la pousséehorizontale de la voûte, il peut arriver qu’ilsse renversenten tournant autour de l’arête extérieure. Cette circon-stance ne peut se réaliser qu’autant que l’inégalité (a), co-lonne 3824, ne serait pas satisfaite, ce qui indiqueraitqu’il faut augmenter l’épaisseur du pied-droit et parsuite s\
On opérerait d’une manière analogue pour le cas oùle pied-droit pourrait tourner autour de l'arête inté-rieure de sa base.
Il pourrait arriver aussi que, par suite d’une tropfaible épaisseur, le pied-droit glissât sur sa base, àglissement n’est possible qu’autant que l'inégalité du 2 U ,colonne 3826, n’est pas satisfaite.
Il pourrait arriver également que la voûte glissât surses naissances. On vérifiera encore si cet effet est pos-sible à l’aide de l’inégalité du 2°, colonne 3826, dans la-quelle. M ne comprendra plus le poids du pied-droit, maisseulement celui de la moitiéde voûte qui le surmonte. Cecas est évidemment celui qui exige la plus grande épais-seur de pied-droit; cependant, comme l’épaisseur sta-tique calculée pour le renversement est ordinairementplus que suffisante pour résister au glissement., on nepeut s’en tenir à cette dernière.
Ordinairement on augmente l’épaisseur statique trou-vée d'une quantité telle, qu’eu y supposant appli-quée une pression égale aux 2/3 de la charge totale dela fondation, on n’ait à craindre ni le tassement du solni l’écrasement de la pierre. Dans le Mémorial du Géniemilitaire, au lieu d’opérer ainsi pour obtenir de la sta-bilité, on multiplie L’épaisseur statique trouvée parun coefficient égal à 1,38 ou 1,40; on l’a même portéà 1,90, mais cette valeur paraît exagérée.
Dans les anciens ponts, on faisait les arches très pe-tites et en plein cintre ou en anse de panier, et les piles
faisaient culée ; mais dans les arches actuelles, que l’onfait grandes et en arc de cercle, afin de faciliter la navi-gation, le joint de rupture étant aux naissances pourun arc dont la flèche est le 1 /6 ou le 4 /8 de l’ouver-ture, il en résulte que la poussée est trop considérablepour pouvoir établir des piles faisant culée. On se con-tente de leur donner des dimensions suffisantes pour queles pierres résistent avec sécurité à la charge qu’elles ontà supporter, en ayant égard aux effets des glaces et àtoutes les autres causes de dégradation.
Méthode graphique , donnée par M. Méry, ingénieur desponts et chaussées, pour calculer la stabilité des voûtes.
Par ce procédé, très pratique, on peut obtenir les di-vers éléments principaux nécessaires pour déterminer lesépaisseurs des voûtes cylindriques de toutes les formeset celles de leurs pieds-droits.
Lorsqu’une voûte est en équilibre, de quelque manièreque la pression se répartisseentre les divers points dechaque joint, elle donne lieuà une résultante unique ap-pliquée en un pointdujoint:ainsi, par exemple, pour lejoint a b (fig. 2560), cetterésultante, que nous dési-gnerons par p, sera appli-quée au point g , et le vous-soir C b agissant sur le joint a b, devra être tenu en équi-libre par la réaction p de ce joint et par la poussée ho-rizontale P qui agit au sommet de la voûte. Sur chacundes autres joints a’b’, o” b”, etc., il existe des points g\g ", etc., analogues kg. Tous ces points déterminent unecourbe, que M. Méry appelle courbe des pressions, quiest très propre à éclairer sur l’équilibre de la voûte.
Si cette courbe passe au sommet C de la voûte, aupoint b de l’intrados et au point extérieur A, cela in-dique que la voûte tend à s'ouvrir à l’intrados au joint C,à l’extrados au joint a b, et que le pied-droit tend àtourner autour de l’arête extérieure A.
La courbe des pressions n’atteignant pas les pointsC, b et A, mais s’en approchant, comme l’indique lafig. 2560, elle montre encore que c’est en ces points quela voûte est le plus faible.
La résultante de toutes les pressions qui s’exercentsur le joint a b passant par le point g y où la courbe despressions rencontre ce joint, la moitié des composantesde p agissent sur la portion b g, qui doit y résister sanss’écraser; il en est de même de chacune des portions«A, b’g', b"g" Cg"’.
Nous disons que b g doit être capable de supporter lamoitié de la pression qui s’exerce sur le joint b a; maisremarquons que la pression allant en augmentant de-puis le point g jusqu’en b, l'arête b s’écraserait si ons’en tenait pour évaluer b g à la limite exigée par unedemi-pression répartie uniformément. On n’a rien debienpositif sur la manière dont la pression se répartit surun joint ; mais on admet généralement qu'étant à sonmaximum en b, elle décroît proportionnellement à ladistance de ce point ; de sorte que la pression étantmoyenne en g, elle est nulle au point h qui donneh g = 2 g b (la pression totale sur le joint étant représentée par la surface d’un triangle dont h b est la hau-teur, g le centre de gravité, et dont la base, que nousreprésenterons par fc, est proportionnelle à la pressionmaximum en b, en tout autre point du joint, la pres-sion est représentée par la parallèle menée en ce pointàla base du triangle).
Cela posé, comme il est évident qu’au point b lapression k ne doit pas dépasser la limite que comportela pierre, il en résulte que la partie b g doit être capablede supporter une*charge représentée par k'X.bg; etcomme la pression totale sur le joint a b est k X y b 9 »on voit donc que b g doit être capable de supporter avec
2560.