20

Vierte Vorlesung.

Hilfssätze über Congruenzen. — Die primitiven Wurzeln(mod. f).

1. Die Methode, welche wir im Folgenden zur Auflösung

X V _ x

der Kreistheilungsgleichung d. i. der Gleichung ——-y — 0 aus-einanderzusetzen haben, ruht wesentlich auf zwei verschiedenenGrundlagen, die jedoch Beide ein- und demselben weiteren Ge-biete der Arithmetik, der Lehre von den höheren Congruenzen,angehören. Dies sind einerseits die Eigenschaften der sogenanntenprimitiven Wurzeln vom Modulus p, andererseits die Irreductibi-lilät der Kreistheilungsgleichung. Ehe wir zu ihrer speciellenBetrachtung übergehen können, müssen hier einige einfache Fun-damentalsätze jener Theorie, deren wir bedürfen werden, be-wiesen werden.

Wir beginnen mit einer Definition, welche den elementarenBegriff der Congruenzen erweitert:

Zwei ganze Functionen von x:

f(x) = a 0 x n -j- aj aj” -1 -f- . . . + a„-ix -f- «*

<p (x) = b 0 x” -f- b, x“- 1 + ö n _i x -j- b„

mit ganzzahligen Coefficienten sollen (mod. p) con-gruent heissen, in Zeichen:

f(x) ~ cp(x) (mod. p ),

wenn die Coefficienten gleich hoher Potenzen (mod. p)einander congruent sind, wenn also fiir jeden Index?die Congruenz (mod. p) besteht.

Man kann die Functionen von demselben Grade annehmen,indem man im entgegengesetzten Falle die fehlenden Potenzenmit dem Coefficienten Null hinzufügt.

Hiernach wird eine Function f(x) congruent Null heissen(mod. p), wenn jeder ihrer Coefficienten durch p (heilbar ist.

Ist p eine Primzahl, so besteht folgender Satz*): Das Pro-duct zweier ganzer und ganzzahliger Functionen f(x)

*) Vgl. hierzu Eisenstein’s Abhandlung in Cr eile’s JournalBd, 39, pag. 167 und 168.