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Dreizehnte Vorlesung.

Das Reciprocitätsgesetz der biquadratisehen Reste.

1. Um das Reciprocitätsgesetz für die biquadratischen Restezu erhalten, bedienen wir uns ganz ähnlicher Mittel, wie hei demReweise des quadratischen Reciprocitätsgesetzes. Wir nehmenan, p sei eine reelle Primzahl von der Form 4« -f- 1, und gehendann aus von der Formel:

2

(®\ r ) =

27 - 7) —— 1 J) _ J

Setzen wir darin successive h gleich —r—, 2 . ——,3.—,—,

° 4 4 4 ’

rni

wobei w 4 = * wird, so erhalten wir die drei Ausdrücke:

i* . (— 1, r)

(1) («, r) = ^ V . r?' 1 , (— 1, r) = ,

welche wir kurz durch S l , S 2 , S 3 resj). bezeichnen wollen. Derzweite derselben ist kein anderer, als der in Nr. 3 der 9. Vor-lesung mit S bezeichnete; denn für jeden geraden Werth dest ist i 2X = -f- 1 und g l quadratischer Rest, für jedes ungerade ldagegen ist i 21 = — 1 und g x quadratischer Nichtrest von p, d. h.

X =p — 2

s =zp— \

Nach Formel (25) ebendaselbst erhält man also für den hiervorliegenden Fall:

s 2 — + V p .

( 2 )

Wenn man nun auch in den Formeln (34) und (29) der

* 27 J

8. Vorlesung, von der Voraussetzung h = —— ausgehend,

i, e — 4 setzt, so nehmen sie die Gestalt an:

p—i

( 3 )

(i, r) A = (— 1) 4 . p 1 /j, (?) f. 2 (i)

P-1

( 4 )

(*• r ) (— h r ) = (— 1) 4 ■ p .