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Elfte Vorlesung.

Fortsetzung: Die Fälle p = 6n + 1 und p = 8n -j- 1.

1. Wir setzen, um eine zweite Anwendung der inder vor. Vorl. entwickelten Principien zu machen,p von der Form 6» -f- 1 vora us, sodass p — 1 den Factor 3hat, der jetzt für e genommen werden soll. Dann liefert dieFormel (7) die folgende:

fi = p — a fi

(1) p = 2 pind.f/t+ft“) _ JSyf p— ind. (/<+/!') >

fi-1 fl = 1

wenn man mit g eine imaginäre oubische Einheitswurzel be-zeicllnet. Die beiden Summen sind resp. gleich

A) + unc ' + ^i? 2 + ^2?’

wo Aq, A v A 2 die Anzahl bezeichnen, wie oft ind. (ft -j- ft 2 ) einerder Zahlen 0, 1, 2 resp. (mod. 3) congruent ist, sodass dieGleichung besteht:

(2) A 0 -|- A l -f- 4 2 — p — 2 .

Da aber g die Gleichung 1 -f- g -j- g 2 — 0 befriedigt, kann mandie Summen in der vorigen Zerlegung auch auf die Forma -j- bg und a -(- bg 2

bringen, worin a, b wieder ganze Zahlen, nämlich

(3) a = Aq A 2 , b = A^ — A 2

sind, und da das Product jener Werthe nach der Gleichung1 -|~ g -{- g 2 = 0 die Form a 2 — ab -)- b 2 annimmt, so erhältman wieder einen interessanten Satz der höheren Arithmetik:Jede Primzahl von der Form 6w -j- 1 kann in die Forma 2 — ab -J- & 2 gesetzt werden.

Derselbe kann noch in einer etwas verschiedenen Gestalt

ausgesprochen werden. Da nämlich g = ——-,p 2 =——~gewählt werden darf, so gehen die Ausdrücke « —[— & « —)— & ^» 2

. A + bV^ 3 A-nVAT ,§

in —— -,- 0 -resp. über, wenn

(4) A = 2a — b, B = bgesetzt wird, und aus (1) folgt die Gleichung: