139

( 5 ) • ip = Ä l + ZB' 1 ,

d. h. der Satz: Das Vierfache jeder (ungeraden) Primzahlvon der Form 6n-J-1 kann als Summe aus einem ein-fachen und einem dreifachen Quadrate dargestelltwerden.

Nehmen wir wieder als Beispiel p — 13. In diesem Fallefindet man:

u = 1, 2, 3, 4, 5,6, 7,8,9,10,11,12

ind. ft = 0, 5, 8, 10, 9, 1, 7, 3, 4, 2, 11, 6

ind. (ft + ft 2 ) = 5, 13, 18, 19, 10, 8, 10, 7, 6, 13, 17

ind. (ft + ft 2 ) = 2, 1, 0, 1, 1,2, 1,1,0, 1, 2 (mod.3),

also

(i = n

^yn<uH-,u=) = 2 + 6? + 3? 2 = —1+3?,

/i ~ 1 a = — 1, 6 = 3, Ä = — 5, B = 3und' die Zerlegungen:

13 = l 2 + 1 . 3 + 3 2 , 4 . 13 = 5 2 + 3 . 3 2 .

Wird zweitens p = 19 gewählt, so wird gefunden, wenn fürdie primitive Wurzel g die 2 genommen wird:

ft = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,

13, 14, 15, 16, 17,18

ind. ft = 0, 1, 13, 2, 16, 14, 6, 3, 8, 17, 12, 15,

5, 7, 11, 4, 10, 9

ind. (fi + ft 2 ) = 1, 14, 15, 18, 30, 20, 9, 11, 25, 29, 27, 20,12, 18, 15, 14, 19

ind. (fi + +) = 1, 2,. 0, 0, 0, 2, 0,2, 1, 2, 0, 2,

0, 0, 0, 2, 1 (mod. 3),

also

,u = 17

•\t g ind>+^) = 8 + 3?+6? 2 = 2 — 3?,

(i = i

a = 2, 6 = — 3, A = l, B = — 3

und die Zerlegungen:

19 = 2 2 + 2 . 3 + 3 2 , 4 . 19 = 7 2 + 3 . 3 2 .

2. Um zu untersuchen, welchen Rest die Zahl a(mod. 3) lässt, gehen wir aus von der Gleichung:

At =P— i

r) = 2«*^ . rf 1

fi = l