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Die Ausdrücke von und i]> 2 (i) aber haben wir bereitsin Nr. 4 der 10. Vorlesung gefunden, nämlich

(*> r ) 1 i-\ _ (i, r) , (— 1 , r)

(->»

( 5 )

und

( 6 )

% w

4*2 (0

(— 1, r)

und zwischen ihnen die Beziehung

p~\

4*2 (*') = (— !) 4 • 4*i (*) •Beachtet man endlich, dass

ljj 2 (i) =

also nach Nr. 3 derselben Vorlesung gleich einem complexenFactor a -)- bi der Primzahl p war, und suhsliluirt Alles in dieBleichung (3), so ergieht sich:

(7) (i, r) 4 = p ■ {a -f- bi) 2 ,und wegen (4):

(8) (— i, r) 4 =/>.(« — bi) 2 .

Nach dem Hauptsätze am Schlüsse von Nr. 3 der vorigenVorlesung ist eine Primzahl p nur auf eine Art in zwei primäreconjugirt complexe Factoren zerlegbar. Da wir nun vermittelstder Kreislheilung die Zerlegung

p — [a - f- bi) (a — bi)

gefunden haben, so entsteht hier die Frage, ob die Factorena -)- bi, a — bi primär sind oder nicht, und wenn das Letztere,in welcher Beziehung sie zu den primären Factoren von p stehen.Obwohl die Mittel zur Entscheidung dieser Frage durch Nr. 5der 10. Vorlesung bereits gewonnen worden sind, möge es ge-stattet sein, aus Jacobi’s Vorlesungen über Zahlentheorie nocheine andere interessante Methode zu ihrer Beantwortung hiermitzulheilen.

2. Aus der ersten der Gleichungen (5) ergieht sich mitRücksicht auf (6):

r-i

(9) V = (— 1) 4 . (a + bi) . S x

und folglich wegen der Gleichungen

s i ■ S 3 = r ) ■ (— *> r) = (— 1) 4 • (« 2 + b 2 ) und S 2 = yp