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Allgemeine Arithmetik.
Vm/ X "r / V / V ^ /
Die erste figurirte Zahl jeder Ordnung ist 1. Die figurirten Zah-len erster Ordnung sind die natürlichen Zahlen. Die nte figurirte Zahl,»ter Ordnung erscheint als Summe der (n—l)ten figurirten Zahlder mten Ordnung und der nten figurirten Zahl der (m —1)ten Ord-nung, oder als Summe der ersten rr figurirten Zahlen k>—1)ter Ord-nung, weil (tz. 25, 5).
/m-j-n—IX —2X . —2>
^ M ^ V m—1 -
Die Summen der ersten l, 2, 3, . . natürlichen Zahlen sind die figu-rirten Zahlen zweiter Ordnung; die Summen der ersten 1, 2, 3, . .figurirten Zahlen zweiter Ordnung sind die figurirten Zahlen dritterOrdnung, u. s. w., weil
/ n-j-IX
l-i-2-s- 3 -fi . . -fi » -- j, 2 -
u. s. w. Demnach find die figurirten Zahlen der ersten Ordnungenfolgende:
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
28
1
4
10
20
35
56
84
1
5
15
35
70
126
210
Anmerkung. Die figurirten Zahlen zweiter Ordnung werdenTrigonalzahlen, die figurirten Zahlen dritter Ordnung Tetrae-dralzahlen (dreiseitigePyramidalzahlen) genannt, so daß die nte figu-rirte Zahl zweiter Ordnung das Dreieck der Zahl n, die nte figurirteZahl dritter Ordnung das Tetraeder der Zahl n heißt. Die Einhei-ten der »ten Trigonalzahl können nämlich in parallele Zeilen zu ei-nem Dreieck zusammengestellt werden, dessen Seiten je n Einheiten ent-halten. Die Einheiten der »ten Tetraedralzahl können in parallele ähn-liche Dreiecke zu einem Tetraeder zusammengestellt werden, dessen Kan-ten je n Einheiten enthalten. Die figurirten Zahlen höherer Ordnungensind auf solche Weise nicht construirbar.
2 . Wenn man die figurirten Zahlen mter Ordnung der Reihe nach