tz, 28. Figurine Zahlen und arithmetische Progressionen.
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Insbesondere ist 1^ ---- 1, 2^ — 3 -s- 5, 3^ — 7 -s- 9 -j- 11, u. s. w.Also ist die Summe der Cuben*)
1^ -s- 2» -s- 3» -st - -ff-
gleich der Summe der ersten ungeraden Zahlen. Die letzte die-ser Zahlen ist 2 — 1, folglich die Summe , wie oben (4).
«. Von einer Reihe von Größen sagt man, daß sie eine arith-metische Progression 2ter, 3ter, . . Ordnung bilden, wenndie Differenzen der auf einander folgenden Größen eine arithmetischeProgression Iter, 2ter, . . Ordnung bilden. Sind st, st, st, . . diegegebenen Größen, so bilde man die Reihe der ersten Differenzen
^2 t, ----- st 1, st st ^ st,1- ^4 st " st,4' ' -
die Reihe der zweiten Differenzen d. i. die Differenzen der aufeinander folgenden Differenzen
st,1 st,I - st,2' st,1 st,I - st,2' st,I st ,1 — st,2' - -
die Reihe der dritten Differenzen
st,2 st,2 ^ st,3 ' st,2 st,2 ^ st,3 ' st,2 st,2 ^ st,3' ' '
u. s. w. Wenn die Reihe der mten Differenzen aus gleichen Gliedernbesteht, so ist die Reihe der gegebenen Größen eine arithmetische Pro-gression mter Ordnung**). Z. B.
Gegebene Größen: 1 8 27 64 125 216
Erste Differenzen: 7 19 37 61 91
Zweite Differenzen: 12 18 24 30
Dritte Differenzen: 6 6 6
Die Zahlen 1,8,27, . , bilden eine arithmetische Progression 3ter Ord-nung, weil ihre 3ten Differenzen einander gleich sind.
Die figurirten Zahlen mter Ordnung bilden eine arithmetische Pro-gression mter Ordnung, weil ihre ersten Differenzen figurirte Zahlen(m—1)ter Ordnung (1), folglich ihre (m—1)ten Differenzen die natür-lichen Zahlen sind, welche eine arithmetische Progression erster Ordnungbilden.
*) Diese Bemerkung ist im Alterthum gemacht worden. Nicomachus llritkm.II, 20.
Die Reihen der Differenzen, welche zu einer gegebenen Reihe von Größengehören, sind bei den Untersuchungen über die figurirten Zahlen gebildet (vergl. Iund 10), und besonders bei der Erfindung der Differentialrechnung in Betracht ge-zogen worden. Der Name ..arithmetische Progressionen höherer Ordnungen" kommterst im Anfang des litten Jahrhunderts vor bei Lagny «Llöm. äs knris N22 x. 264).