tz. 28. Figurirte Zahlen und arithmetische Progressionen.

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so bilden Ki,, atz, atz,. . eine arithmetische Progression mter Ordnungmit der letzten Differenz ae. Denn die Differenzen der abgeleitetenProgression entspringen aus den Differenzen der gegebenen Progressiondurch Multiplikation mit a, weil u. s. f.;

wenn also die mten Differenzen der Reihe i,, r,, . . einander gleich

sind, so sind auch die mten Differenzen der Reihe at,, . . ein-

ander gleich und «mal so groß als jene.

Wenn kj, i,, tz, . . eine arithmetische Progression mter Ordnung,u,, , . . eine arithmetische Progression niederer als mter Ordnung

bilden, so bilden r, -s- u,, ^ r< 2 , ^ -s' ^ 3 , - - eine arithmetische

Progression mter Ordnung. Denn die nte unter den Lten Differenzender abgeleiteten Reihe ist die Summe der nten unter den Lten Diffe-renzen der gegebenen Reihen, weil

"i" -j-

u. s. w. Nach der Voraussetzung verschwinden die mten Differenzender Reihe r^, «z, . . ; also sind die mten Differenzen der Reihesi -j- r«i, «2 ^ " 2 , ^3 -j- »z, . . von den mten Differenzen der Reihe«i, k.z, «z, . . nicht verschieden.

S. Wenn , § 2 , «z, . . eine arithmetische Progression mter Ord-nung mit der letzten Differenz e bilden, so bilden « 1 , 2^, 3l,, . . einearithmetische Progression lm --s- 1)ter Ordnung mit der letzten Diffe-renz (m -i- 1)o.

Beweis. Für die abgeleitete Reihe ist die nte unter den ItenDifferenzen nach der angegebenen Bezeichnung (6)

-i- 1)^1 — ^ -i- -I-

und daher die nte unter den 2ten Differenzen

O ^^2 — "^.1 — — N^.2 ^ ^^^1.1'

Angenommen, die nte unter den 1-ten Differenzen sei

so findet man die nte unter den (L -j- l)ten Differenzen(rr -j-

Nun war die »rte unter den 2ten Differenzen ^2 -si 2l^, ,, folglichist die nte unter den 3ten, . . , (m -j- l)ten Differenzen

^^v.3 ^ ^^l,2

-h- (»r

Nach der Voraussetzung ist ^.--,^^0, ---c, also haben