tz. 2. Von den Winkeln der geradlinigen Figuren.

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o o

^ haltenen Schenkel den Schenkel /IK

schneiden, heißt parallel 0-rg-aK^z<,§)^ mit ^1K. Von der Parallele OK wird

^ gesagt, daß sie mit -4K einerlei Rich-^ tung hat und einen verschwindenden

Winkel bildet, dessen Scheitel unendlich fern ist (6), daß sie nach demunendlich fernen Punct geht, der in der Richtung von ^ nach K zu ver-folgen ist*).

Dabei kann LK oder LK für ^4K gesetzt werden, wenn LK undLK mit ^4K einerlei Richtung haben, in Betracht daß auch alle in demWinkel LOK oder LOK enthaltenen Schenkel den Schenkel LK oderLK schneiden.

II. Wenn OK mit >1K parallel ist, und OK und OK mit OK

einerlei Richtung haben, so sind auch OK und OK mit -4K parallel.Ein in dem Winkel -IOK enthaltener Schenkel 0/ werde von einemin dem Winkel /lOK enthaltenen Schenkel OL geschnitten; nun wird-4K von OL geschnitten, also auch von OK Ein in dem Winkel -4 OKenthaltener Schenkel OK schneidet 0^4. Zieht man OL so, daß der

Winkel LOK dem Winkel KLO gleich wird, so ist OL in dem Winkel

-4 OK enthalten (6) und schneidet ^4K. Nun kann OL von OO nichtgeschnitten werden (5), also wird -4K von OK geschnitten.

III. Wenn OK mit ^IK parallel ist, so giebt es einen Schenkel

j 00, der -4K in O so schneidet, daß die Winkel KOO und OOK gleich

! werden. Man kann in dem Winkel /10K den Schenkel OL so ziehn,

daß KLO > LOK wird, weil OLX belie-^ big klein gemacht werden kann (6). Machtman aber LL — LO, so wird LLO —LOL und kleiner als LOK. Während nunOL den Winkel LOL beschreibt, nimmt der

Winkel LOK ab bis LOK, dagegen steigtder Winkel KLO bis KLO (6); also giebt

*) Nach Euclides nannte man zwei sich nicht schneidende Gerade einer Ebene(5) parallel, und fugte dieser Erklärung das Axiom (oder ein Aequivalent desselben)hinzu, daß auf einer Ebene durch einen Punct nur eine Gerade gezogen werden könne,die eine auf der Ebene gegebene Gerade nicht schneidet. Legend re's Meinung(6soin. note 2), daß ein solches Axiom seine Begründung durch Untersuchungen überdie Natur der Geraden erhalten werde, hat sich nicht bewährt. Die obige genauereDefinition der Parallelen ist zuerst von Lobatschewsky (Geom. Untersuchungen,Berlin 1840) und I. Bolhar (Kxxonäix zu dem Werke W. Bolyai's rentamen inslsinonts, nmtsiosoos ste. Maros Vasarhely 1832) gegeben worden. Den unendlichfernen gemeinschaftlichen Punct von Parallelen haben Desargues (1630)und New-ton (1687) erwähnt.