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Viertes Buch. Planimetrie.
AS und SS einen erreichbaren Punct gemein, so würden zufolge derCongruenz auch die Schenkel SA und SS einen erreichbaren Punct ge-mein haben. Also hätten die Geraden XL und SO zwei Puncte gemeinund fielen zusammen (A. 1, 3) gegen die Voraussetzung. Daher habendie Geraden AS und SO keinen erreichbaren Punct gemein und schnei-den sich nicht.
Der von den sich nicht schneidenden Geraden AS und SO einge-schlossene Streifen (bsmäs) hat zur Ebene das Verhältniß 0. Denndie Ebene wird durch eine endliche Anzahl solcher Streifen ebensowenigausgefüllt, als die Gerade SS durch die gleiche Anzahl Strecken wie SS.
Der Schluß, daß ein Winkel von einem Streifen nicht ganz eingeschlossen seinkönne, weil von den Verhältnissen des Winkels und des Streifens zur unendlichenEbene das eine nicht verschwindet, das andere verschwindet, ist nicht berechtigt. Aufdieses mangelhafte Fundament ist die Parallelentheorie von Bertrand (Itsvsloxxs-msnb etc. II x. 19) gegründet.
K. Wenn in einem (geradlinigen) Dreieck ASS ein Winkel SASund eine daran liegende Seite SA unverändert bleibt, und die anderedaranliegende Seite AS unbegrenzt wächst, so wächst der ihr gegenüber-liegende Winkel ASS bis zu einer bestimmten Größe ASV, die dasSupplement des unveränderten Winkels nicht übersteigt, und der dritte- L— Winkel SSA verschwindet. Denn unter
der Voraussetzung SA<7 -fi A6O <180"oder ASS < 180« — SAS kann derSchenkel SO den Schenkel AS nicht
schneiden (5). Verlängert man AS und macht die Verlängerung SS ^SS, so deckt das Dreieck SS 6' umgewendet sich selbst, mithin ist derWinkel Sss — SSL und kleiner als S6O, welcher nach der Voraus-setzung verschwindet, wenn AS unendlich groß wird.
Bei einem Dreieck kann daher die Summe von zwei Winkeln 180"nicht erreichen; ein Winkel ist kleiner als der Nebenwinkel eines andern?Lud. I, iß). Zwei Winkel des Dreiecks sind spitz und das Dreieckheißt spitzwinkelig, rechtwinkelig, stumpfwinkelig, je nachdemder dritte Winkel spitz, recht, stumpf ist. Die in einem rechtwinkeligenDreieck den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen C a th e ten (2),die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt die Hypotenuse(nworx/nouo«, sudtsnäsns, bei den Alten auch die einem beliebigen Win-kel gegenüberliegende Seite).
7. I. Durch einen Punct (Scheitel) gehen unendlich viel Schenkel,die einen gegebenen Schenkel schneiden, und unendlich viel Schenkel, dieden gegebenen Schenkel nicht schneiden. Der erste Schenkel SS, welcherden Schenkel AS nicht schneidet, während alle in dem Winkel ASO ent-