16

Viertes Buch. Planimetrie.

ben nicht mehr als der Nebenwinkel desandern. Dieselbe Summe kann auch dieSumme der Winkel des Dreiecks AS 6nicht übersteigen, weil der Winkel L67)

nicht mehr als <7/1/1 beträgt.

Wenn bei einem Dreieck die Summe der Winkel 180" beträgt, sobeträgt auch bei Parallelen die Summe der inneren Winkel 180°. Ver-längert man AS und macht die Verlängerung SS, S6, S,S? —S,6, u. s. w., so ist der Winkel S6S, --- 671, S, S,6S^ --(vergl. 6), und nach der Voraussetzung (II) 6 S,S ^ 6 SA, 6 S 2 S,--- z6S,S --- z6SA. Daher hat man SA 6 -> A6O

--- SA 6 A6S -j- S6S, -j- S,6Sz .

-- SA6 -j- A6S -j- 6SA (^ > ^ -j- ^ ->- . .)

— SA 6 > A6S -s-- 6SA — 180°.

Wenn bei einem Dreieck die Summe der Winkel weniger als 180°beträgt, so beträgt bei jedem Dreieck die Summe der Winkel und beiParallelen die Summe der inneren Winkel weniger als 180°.

Wenn bei zwei gegebenen Parallelen AS, <70 die Summe der in-neren Winkel SA 6 A67) ^ 180° ist, so kann die Summe 71/16 7

A6L-7 6/61 nicht weniger als 180° betragen, also beträgt bei je zweiParallelen die Summe der inneren Winkel 180°. (Dieser Satz ist vonBolyai Axp. tz. 13 direct bewiesen worden.)

IV. Die genauesten Messungen haben ohne Ausnahme zu erken-nen gegeben, daß bei einem Dreieck die Summe der Winkel 180° be-trägt; darnach beträgt bei Parallelen die Summe der inneren Winkel180°, und die Schenkel AS, 66 convergiren gegen einen in endlicherFerne liegenden Punct, wenn SA 6 A 6/1 <180° (Lud. I, Axiom»11). Alle Versuche, diesen Satz zu beweisen, mußten scheitern, weil ansich auch die entgegengesetzte Hypothese zulässig ist, daß bei einemDreieck die Summe der Winkel und demnach auch bei Parallelen dieSumme der inneren Winkel weniger als 180° betragen könnte.

Die unserer Erfahrung entsprechende Geometrie, welche in dem Fol-genden entwickelt wird, heißt die gemeine, Euclideische Geometrie.Auf der gegenüberstehenden Hypothese kann eine abstracte, Nicht-Euclideische Geometrie (imaginäre, Pangeometrie) erbaut werden, inder verschwindend kleine Figuren den Gesetzen der gemeinen Geometrieunterliegen, die auch in gewissen Lehren mit der gemeinen Geometrieunbedingt übereinstimmt, übrigens aber eine durch Erfahrung zu bestim-mende Constante erfordert.

Nach der Annahme der abstracten Geometrie gehn durch einen PunctA zwei verschiedene Gerade AS und AS, die mit den entgegengesetzten