ß. 2. Von den Winkeln der geradlinigen Figuren.

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Schenkeln S6' und SL einer Geraden parallel sind. Es sei^ AS nor-mal zu <7L, AS mit SL7 parallel, LSASmit 6'SA/i congruent, so ist auch AS mitSL parallel. Nach der Annahme der ge- ^

meinen Geometrie ist der Winkel SAO recht, _— I. _

mithin fallen die Geraden AS und AS zu- ^ ^

sammen; die in entgegengesetzten Richtungen liegenden unendlich fernenPuncte einer Geraden werden nicht unterschieden, jeder Geraden wirdnur ein unendlich ferner Punct zugeschrieben, weil auf einer Ebene durch

einen neben einer Geraden gelegenen Punct nicht mehr als eine Gerade

gezogen werden kann, welche die Gerade nicht schneidet.

Diese fundamentale Unterscheidung ist zuerst von Ga uß (seit 1792) erkannt, abernicht ausführlich mitgetheilt worden. Andeutungen darüber findet man in Gauß'Anzeigen von 8obvad eommentatio in zrrimnm elemsntornin Luoliäis librnmund Metternich Theorie der Parallellinien, Glitt. gel. Anz. 1816 x. 617, und vonL. R. Müller Theorie der Parallelen, Gott. ael. Änz. 1822 x. 1725, Weiteres inGauß' Briefen an Schumacher (seit 1831) II x. 268 und 431, V x. 246. Vergl.Sartorius v. Waltershausen, Gauß zum Gedächtniß p. 81. Die wirklichen Gründereiner correcten Parallekentheorie und der abstracten Geometrie sind I. B oly ai (vergl.7) und Lobatschewsky Neue Anfangsgründe der Geometrie mit einer vollstän-digen Theorie der Parallelen (im Kasan'schen Boten 1829 und in den gelehrtenSchriften der Universität Kasan 1836—38), dsninetrisurmß'iimiie 1837 (in Crelle'sI. 17 p, 295), Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien: Berlin1840, kauAeomtztris: Hasan 1855.

U. I. Bei den Parallelen AS, 6S>, die von der Geraden SSdurchschnitten werden, heißen die Winkel SSS und LSS innere Win-kel; einer der inneren Winkel und der außer dem Streifen liegende Ne-benwinkel des andern, SL<7 und OS6, //SS undSS/I, heißen Gegenwinkel (oorrs8x>ouäs.r>t8); ei-ner der inneren Winkel und der nicht außer demStreifen liegende Nebenwinkel des andern, SSSund SSL, LS/) und SLA, heißen Wechselwin- —kel (g.ItsrL68-iutsrass). Bei supplementären in-neren Winkeln hat man gleiche Gegenwinkel undgleiche Wechselwinkel, und umgekehrt (2).

Wenn zwei Gerade mit einer dritten Geraden gleiche Gegenwinkelbilden, oder (was dasselbe ist) wenn sie mit ihr gleiche Wechselwinkelbilden, oder wenn sie mit ihr supplementäre innere Winkel bilden, so sindsie parallel d. h. sie schneiden sich nicht (5), so daß jede Gerade, welcheeine der Parallelen schneidet, auch die andere schneidet (Axiom der ge-meinen Geometrie, 8). Duol, I, 27. Wenn insbesondere zwei Geradezu einer dritten Geraden normal sind (2), so sind sie parallel.

II. Zwei Parallelen bilden mit jeder sie schneidenden Geradengleiche Gegenwinkel, gleiche Wechselwinkel, supplementäre innere WinkelLuel. I, 28. Wäre SSS von SSS verschieden, so mache man S^LS

B-ltzer II. 2. Aufl. 2