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Viertes Buch. Planimetrie.

den der kleinern Seite gegenüberliegenden Winkel der Reihe nach gleichhaben.

3. Wenn in einem Dreieck zwei Seiten unverändert bleiben, wäh-rend der von ihnen eingeschlossene Winkel wächst, so wächst auch diedemselben gegenüberliegende Seite. Luol. I, 24.

Sind die Strecken US, ^tL, US so langals U0, die Winkel LU0, SUL, SUS größerals SU0, so sind die Strecken SS, SS, SS^ -^ länger als S0.

Beweis. Die Strecke U0 wird von SS außen, von SS in 0,von SS innen in 0 geschnitten. Dann ist

so -j- uo < SS ^ us (K. 3, 2), folglich so < SO;

S<7 ein Theil von SS, folglich S0 < SS;

S0 < S0 -s- 00, US < 6S ! ^0, folglichS0 -s- US < SS -s- U0, S0 < SS.

Umgekehrt schließt man: Wenn in einem Dreieck zwei Seiten un-verändert bleiben und die dritte Seite wächst, so wächst auch der ihrgegenüberliegende Winkel.

6 . I. Wenn in einem rechtwinkeligen Dreieck eine Cathete unver-ändert bleibt und ein anliegender Winkel wächst, so wächst sowohl dieandere Cathete als auch die Hypotenuse. Die recht-winkeligen Dreiecke US0, USS haben die Cathete USgemein, den Winkel SUD >> SU0. Dann ist SS>>S0, und UO s> U0 gegenüber dem stumpfen WinkelS6ck des Dreiecks U0S.

II. Wenn die Hypotenuse unverändert bleibt undein anliegender Winkel wächst, so wächst die ihm gegenüberliegende Ca-thete und die andere Cathete nimmt ab. Die rechtwinkeligen DreieckeUS0, USS haben die Hypotenuse US gemein, den Winkel S/tS>-SU0.

Dann ist der Winkel SSU < 0SU, weil derPunct 0 nicht auf die Seite SS oder in dasDreieck USS fallen kann, ohne daß der WinkelU0Ss>USS wäre i'tz. 2, 6). Die Winkel S0Lund US0 sind stumpf, weil größer als U0S undUSS. Daher ist sowohl SS S0, als auch US -< U0.