Z. 6. Die besonderen Vierecke.
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Z. 6. Die besonderen Vierecke.
1. Ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel sind, heißt
ein Parallelogramm Das Parallelogramm
wird von einer Diagonale in zwei gleiche und ähnliche Dreiecke getheilt,von denen eines das andere ohne vorherige Umwendung deckt. Diegegenüberliegenden Seiten sind gleich. Die Diagonalen halbiren einan-der. Ihr Durchschnittspunctheißt das Centrum des Parallelogramms;eine durch das Centrum gezogene Gerade schneidet die gegenüberliegendenSeiten inGegenpuncten; die zwischen Gegenpuncten enthaltene Streckeist ein Diameter des Parallelogramms, weil sie das Parallelogrammin zwei gleiche und ähnliche Theile zerschneidet, von denen einer denandern ohne Umwendung deckt. Die Mitten aller Diameter sind imCentrum des Parallelogramms vereint. Lud, I, 34.
Beweis. Die Dreiecke dSO, 6WU sind gleich und ähnlich (H. 5,3), weil- die Seite 64 -- 46 und die Winkel L46 — O64, 466—64O als Wechselwinkel der Parallelen mit 46 (tz. 2, 9). Vereint mandie gleichen Winkel L46 und 6>64, so decken sich die Dreiecke 466und 6O4. Die gegenüberliegenden Seiten 46 und 66, 66 und 64sind einander gleich, gegenüber den gleichen Win-keln der Dreiecke.
Ferner sind die Dreiecke 4647, 67)47 gleichund ähnlich (ß. 5, 3), weil die Seite 46 — 67)und die Winkel 6447 ^ 7)647, 4764-^477)6 4 6
als Wechselwinkel der Parallelen mit 46 und67); also sind 647 ----- 4//), 447 476, gegenüber den gleichen Win-
keln der Dreiecke.
Endlich sind die Dreiecke ULM, 6647 gleich und ähnlich (8-5,3),weil die Seite 447 — 647 u. s. w., daher 46 — 66, 647 ---- 476.Die Vierecke 6666, 6646 decken sich, wenn man eines derselben inseiner Ebene um 47 gedreht hat, bis 66 mit 66 zusammenfällt.
2 . Je zwei auf einander folgende Winkel des Parallelogrammssind supplementär, je zwei gegenüberliegende Winkel sind einander gleich(8- 2, 9). Ist ein Winkel recht, so sind auch die übrigen Winkel recht,und das Parallelogramm heißt ein Rectangel (öySo)-wvMv,rsdunAu-
lum, olrlonAmu). Die Diagonale der spitzen Win- s_<7
kel ist größer als die Diagonale der stumpfen Win- " ,
kel; die Diagonalen des Rectangels sind einander ><gleich. Denn in den Dreiecken 466, LUD ist 66 ,
--- 47), folglich 46 größer, eben so groß, kleiner als 4 ^