5g Viertes Buch. Planimetrie.
bilden die Sehnen dieser Bogen den Perimeter eines regulären Ecks(8- 6, 10).
Es giebt aber verschiedene Arten von regulären «Ecken, und zwarhalb soviel, als Zahlen vorhanden sind kleiner als « und prim zu «(Allg. Arithm. ß, 13, 15). Um nämlich ein reguläres Polygon zu er-halten, kann man bei einem in « gleiche Bogen getheilten Kreise nicht.nur die Sehnen vom Iten nach dem 2ten Theilpunct, vom 2ten nach
dem 3ten, . . ziehn, sondern auch vom Iten nach dem 3ten, vom 3ten
nach dem 5ten,.., oder überhaupt vom Iten nach dem (l-j-L)ten, vom
(1 L)ten nach dem (1 -j- 2L)ten, . ., wobei diejenigen Theilpuncte sich
nicht unterscheiden, deren Nummern nach dem Modul « dieselben Restehaben. Wenn nun L prim zu « ist, so haben die « Zahlen 1, 1 -s- L,1 -j- 2i-, . ., 1 -j- (n—1)K nach dem Modul « verschiedene Reste (Allg.Arithm. 8- 13, 19), mithin fällt erst die («-s- 1)te unter den gezogenenSehnen mit der ersten zusammen. Vertauscht man L mit « — L, sowird das construirte Polygon nicht verändert, weil zu zwei Bogen, diezur Peripherie sich ergänzen, gleiche Sehnen gehören. Es giebt also
nicht mehr verschiedene Arten von regulären «Ecken, als Zahlen, dieprim zu « sind, in der Reihe von 1 bis 4(«—2) oder ^(«—1), je nach-dem « gerade oder ungerade.*) Wird die Anzahl dieser Arten durch -bezeichnet, so hat man z. B.
«!I3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
r II 1 1 2 1 3 2 3 2 5 2 ...
Durch die Theilung des Kreises in « gleiche Theile ist die Thei-
lung desselben in «r gleiche Theile gegeben, wenn « durch ?» theilbarist; ferner ist aber auch die Theilung des Kreises in 2«, 4«, 8«, . .gleiche Theile ausführbar, indem man jeden der gegebenen Theile hal-birt (8- 6, 5). Durch die Theilungen des Kreises in « gleiche Theileund in »r gleiche Theile ist die Theilung desselben in ,«« gleiche Theile
gegeben, wenn 7« prim zu « ist, weil ^ ^ ----- irreductibel.
Die Theilung des Kreises in 6 gleiche Theile geschieht durch Ab-theilung von Bogen, deren Sehnen dem Radius gleich sind. Eine solcheSehne bildet mit den Radien ihrer Endpuncte ein gleichseitiges Dreieck,welches gleichwinkelig ist (8. 3, 1), und dessen Centriwinkel folglich der
*) Die regulären Polygone der ersten Art sind im Alterthum (Luol. IV), dieübrigen (sternförmigen) im löten Jahrh, von Campanus, im Uten Jahrh, vonBradwardine, nn töten Jahrh, von RamuS, dann von Keppler (bs.rmoniesmrmäi 1619), genauer von Meister 6omm. 6ott. 1769 x. 148 und Poinsot1869 (I. äs I'öo. xolzä. 6o.b. 10 p. 16) betrachtet worden. Vergl. Chasles nx.bist. p. S45 d. Uebers.