Z. 7. Bon den gleichen und ähnlichen Figuren.

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3te Theil von 180° oder der 6te Theil von 360° ist. Die Theilungdes Kreises in 10 gleiche Theile geschieht durch Abtheilung von Bogen,deren Sehnen dem sogenannten goldnen Abschnitt des Radius gleich sind(8- 11, 6). Aus dem 3ten und 5ten Theile eines Kreises findet manden 15ten Theil desselben.

Die Theilung des Kreises in n gleiche Theile, wenn -r eine Prim-zahl ist, läßt sich durch elementare Construction (d. h. mit Hülfe einerendlichen Anzahl von Geraden und Kreisen) im Allgemeinen nichtausführen, sondern nur in dem Falle, daß zugleich n — 1 eine Potenzvon 2 ist, z. B. für die Primzahlen 3, 5, 17, 257, 65537, . ., weil4^2^, 16^2', 256--2«, 65536---2 ». *)

Jedem regulären Polygon kann ein Kreis um-geschrieben und ein concentrischer Kreis eingeschrie-den werden. Ist die Seite ^46—66—66—.., XX

der Winkel 66/1--666 ..., und 4/ das Cen- Af/t.^ ^

trum des Kreises A66, so ist das Dreieck 4.64/^ / X //

776.4/ (Z. 5, 2) d. h. der Winkel 4/L4--4/6S. > / x//

Nun ist der Winkel 664^666, folglich 664/--66 . 1 /, und das Dreieck 664/^. 66/1/ (tz. 5, 1) ^

d. h. 64/--64/. Also geht der Kreis 466 durch 6, u. s. w. Diegleichen Sehnen 46, 66, 66, . . dieses Kreises haben von dem Cen-trum 4/ gleiche Abstände (H. 6, 10) und berühren einen concentrischenKreis, der dem Polygon 4666.. eingeschrieben ist.

1». Wenn in einem 2Eck 466. .4^6^6^.. die Theile 466..4^und 4^6^ 6^ ..4 gleich und ähnlich und von einerlei Sinn sind, so hatdas Polygon ein Centrum von der Art, daß jede durch das Centrumgezogene Gerade den Perimeter des Polygons in Gegenpuncten und dasPolygon in zwei gleiche und ähnliche Theile von einerlei Sinn theilt.Die zwischen Gegenpuncten enthaltene Strecke ist ein Diameter. DieMitten aller Diameter sind im Centrum vereint. Denn die SeitenA6 und 4^6, sind nach Voraussetzung nicht nur gleich sondern auchparallel, weil die Winkel 644^ und 6, 4, 4 gleich sind, also ist 464^6,ein Parallelogramm (tz. 6, 3), dessen Centrum zugleich das Centrumdes Polygons ist. Vergl. ß. 6, 1.

*) Dieser Zusatz zur alten Geometrie ist von Gauß 1796 entdeckt worden (visg.nritchm. 365). Von der Construction des regulären 17Ecks handeln Legendre(Dlem. äs triAon. 110), Grunert in Klügel's mach. W. V x. 811, v. StaudtGrelle I. 24 x. 251. Die Theilung des Kreises in 257 gleiche Theile hat Ri-chelot Grelle I. 9 untersucht. Fermat's Vermuthung (nicht Behauptung), daß2>» -s- 1 eine Primzahl sei, wenn m wiederum eine Potenz von 2 ist, hat sich nichtbestätigt; Euler (6omm. kotrox. VI x. 104) hat bemerkt, daß 2^2 -p. i durch 641theilbar ist.

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