Z. 9. Gleichheit der Flächen von Parallelogrammen und Dreiecken.
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7 . Der Perimeter einer geschlossenen Figur kann auf zwei ver-schiedene Arten durchlaufen werden. Der Ausdruck des PerimetersALM bedeutet den Weg von A über L bis 0, L>, A; der Ausdruck
AOOL bedeutet den Weg von A über 7) bis 6, L, A. Ein Punct, der
! zur Linken desjenigen liegt, der ein Stück des einen Weges zurücklegt,s befindet sich zur Rechten desjenigen, der den entgegengesetzten Weg zu-' rücklegt. Die Ausdrücke ALM, LMA, u. s. w. sind gleichbedeutend.
Die Fläche des Dreiecks ALO wird von der Geraden AL beschrie-ben, wenn diese um A sich so dreht, daß L den Weg von L nach <7
zurücklegt. Nimmt man die durch Drehungen in einen: bestimmten Sinn(linksum) beschriebenen Flächen positiv, so hat man die in dem entgegen-gesetzten Sinn beschriebenen Flächen negativ zu nehmen. Hiernach sinddie Ausdrücke einer Fläche ALO, LOA, OAL gleichbedeutend und von! einerlei Zeichen, dagegen sind ALL und AOL, u. s. w. entgegengesetzt' gleich.
Wenn O ein beliebiger Punct auf der Ebene des Dreiecks ALOist, und die Strecke OL mit LO einerlei Richtung und Länge hat, so ist
ALO -si LOO --- AOL,
wobei die Dreiecke dieselben Zeichen oder die entgegengesetzten Zeichen! haben, je nachdem sie von einerlei Sinn sind oder nicht (tz. 7, i).
§ _
Beweis. Vollendet man das Paralle-logramm AOLO und bezeichnet die Durch- Lschnitte von AO und LO durch L und L, sohat man OALO--OALL, OLOL---OLLL(2), folglich durch Addition ALOO-j-LOLO >
--- AOLO, also auch ALO -j- LOO---AOL. AWenn 0 im Nebenwinkel des Winkels OLAliegt, so sind die Dreiecke ALO und LOOentgegengesetzten Sinnes und Zeichens; in der That ist AOLO die Dif-ferenz von Parallelogrammen, die den Parallelogrammen ALOO undLOLO gleich sind.
Wenn man auf zwei Seiten eines Dreiecks AS, LO Parallelo-
l gramme construirt, und den Durchschnitt derSeiten, die mit AS und LO parallel sind,durch 0 bezeichnet, so ist bei Bestimmung der
> Zeichen nach der obigen Regel die Summe
> der Parallelogramme einem Parallelogrammegleich, dessen auf einander folgende Seitenmit AO und LO einerlei Richtung und Länge