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Viertes Buch. Planimetrie.
der hellen Seite des Perimeters liegt und 0 auf der verlängerten Ge-raden «w" angenommen wird, so kann die Strecke 0-1 nicht <» über-streichen, ohne zugleich co" zu überstreichen; dagegen wird ost einmal al-lein ohne w überstrichen, während -1 das Stück des Perimeterszurücklegt. Daher ist in L der Coefficient von «" auf der dunkelnSeite von 7^0 um 1 größer als der Coefficient von « auf der hellenSeite, vorausgesetzt daß die positiven Flächen durch linksum gehendeDrehungen beschrieben werden.
Indem man nun ausgehend von der unendlichen Fläche <x„, derenCoefficient 0 ist, nach und nach in die einzelnen Zellen eintritt, bildetman aus dem Coefficienten der verlassenen Zelle den Koefficienten derbetretenen Zelle durch Addition oder Subtraction von 1, je nachdemman den Perimeter von rechts nach links (von der hellen Seite nach derdunkeln) oder entgegengesetzt überschritten hatte. Bezeichnet man dieCoefficienten der Zellen . . durch . ., so hat man end-lich vollständig L" — -j- -st - - -
Die von der Lage des Punctes 0 unabhängige Summe D der Flä-chen, welche die Strecke 0-1 überstreicht, während der Punct -1 den ge-gebenen Perimeter durchläuft, ist der von dem Perimeter eingeschlosse-nen Fläche gleich, wenn derPerimeter sich selbst nicht schneidet und nichtmehr als eine Zelle bildet (^ — 1, L — Pst. Dieselbe Summe ^dient daher auch zur Definition der Fläche einer mehrzelligen Figur,deren Perimeter sich selbst schneidet.*)
Als Fläche des Vierecks AS6V ergiebt sichdie Summe ALO-stAOO d. i. ASO—AOOwenn man den willkürlichen Punct 0 mit Avereinigt. Als Fläche des Vierecksergiebt sich die Differenz der Zellen —SL//, wenn man 0 nach dem Durchschnitt Svon L7-' und 6// verlegt. Diese Fläche istNull, wenn LO und parallel sind (2).Zieht man 17/ parallel mit LO, so ist MO-- L/0, also MO// --- L^/(3). Auch istdas Viereck einem Dreieck gleich, in
welchem zwei Seiten mit den Diagonalen LOund 2^2/ einerlei Richtung und Länge haben (7).
») Ueber die Flächen von Figuren, deren Perimeter sich selbst schneiden, sind dieersten Aufschlüsse von Meister (6omm. 6ott. 1709 x. 148) gegeben worden; ge-legentliche Aeußerungen finden sich bei Lexell kstrox. 1781, Ix. 125. 1782,I x. 91) und L'Huilier äs rolntions mutn» x. 23. Alle Arten von Polygonen