ß. 9. Gleichheit der Flachen von Parallelogrammen und Dreiecken,
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Eine Zelle, deren Coefficient 2 ist, wird von Zellen umgeben, de-ren jede den Coefftcienten 1 hat, u, s. w. Daher kann die Fläche ei-ner Figur auf eine bestimmte Art durch einfacheZellen (mit dem Coefficienten 1 oder — 1) aus-gedrückt werden.*) Die Perimeter dieser Zellenumfassen einfach alle Theile des gegebenen Pe-rimeters; die schattirte Seite des Perimeters ei-ner solchen Zelle ist zugleich die schattirte Seitevon den Theilen des ganzen Perimeters, welcheden Perimeter der Zelle ausmachen. Das Stern-fünfeck (Pentagramm, Drudenfuß) besteht aus zweiZellen, dem innern Fünfeck und dem äußern Zehneck.
Die runde Figur hat die Zellen AVA,
6S0; die dritte Zelle, bei der die schattirte Seitedes Perimeters außen liegt, ist negativ.
die gegebenen Strecken ^ /?,,
AgVg,
der
II Wenn
Reihe nach mit den Seiten eines Polygons von gleicher Länge und Rich-tung sind, so ist für jeden beliebigen Punct O die Summe der Flä-chen AiLjO st- -j- AgLzO-j- . . von derselben Größe. Wenn
aber jene Bedingung nicht erfüllt wird, so ist dieselbe Summe für allePuncte O, welche von einer bestimmten Geraden gleiche Abstände haben,von derselben Größe.**)
Beweis. Aus einem willkürlich angenomme-nen Punct A ziehe man AV, SO, OH,.., 7^ derReihe nach von gleicher Länge und Richtung mitden gegebenen Strecken -st7t,, >st/st, AzVz, .sodaß -stV^VA, -stlstOV, . . Parallelogramme sind(8. 6, 3). Dann ist (8)
0 -- st- ASO
--- st/st/stOV st- 000-st/st 0 ^ zstst/st/)0 st- 67)0
umfaßt die von Gauß in Schumachers Uebersetzung von Carnot's Göom. cks xv8.II x. 362 gegebene Formel zur Berechnung ihrer Flachen. Eingehende Behandlungvon Grund aus hat dieser Gegenstand durch Möbius erhalten (Baryc. Calc. 165Anm. Statik 45. Berichte der Sachs. Gest d. W. 1865 x. 42).
') Vergl. die von Hermes aus Jacobi's Nachlaß mitgetheilten Bemerkungen.Crelle's I. 65 x. 173.
'*) Apollonius im Iten Buch der ebenen Oerter. Vgl. Simsons Bearbeitungübers. von Camerer x, 92fs. Denselben Satz hat L'Huilier xostFonomstris 1789x. 92 genauer behandelt, erschöpfend aber erst Möbius Statik 46.