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Viertes Buch. Planimetrie.

folglich (10)

A, /Z0 -s- ^2^0 — ^A^s, SA -j- HA 2 S 2 OS -st- -

-i- ASO . . SS -s- ASO.

Dieser Werth ist unabhängig von O, wenn S mit A zusamrnenfällt; erbehält seine Größe, so lange als das Dreieck >1(70 seine Fläche, mithinO seinen Abstand von der Strecke AS behält.

§. 10. Flächenmessung.

1. Wenn zwei Dreiecke (Parallelogramme) gleiche Höhen haben,so ist das Verhältniß ihrer Flächen dem Verhältniß ihrer Basen gleich.Luol. VI, 1.

Beweis. Das Verhältniß der Flächen

.L_^ ASO: ASL ist dem Verhältniß ASO: ASO

gleich, weil nach der Voraussetzung die Dreiecke^ ASL, ASO, ASO gleiche Höhen, folglich ASL^ ^ und ASO gleiche Flächen haben (ß- 9,2). Zieht

man die Geraden von O nach den Puncten, welche AS in m gleicheTheile theilen, so theilt man ASO in M Dreiecke von gleichen Basenund Höhen, also auch von gleichen Flächen. Wenn nun AS den mtenTheil von AI) »mal enthält, so enthält auch ASO den »Neu Theil vonASO »mal, d. h.

ASO : ASO n : m -- AS : AS.

Wenn aber AS den mten Theil von AI) mehr als »mal und wenigerals (n -j- i)mal enthält d. h.

ir : m <( AS : AS <( ?r -s- 1 : nr,

so ist auch

ASO : ASO <( -r -s- 1 :

Die Differenz der Verhältnisse (ASO: ASO) — (AS : AO^ ist gerin-ger als der beliebig kleine Bruch 1:m, also von Null nicht verschieden(Algebra 8- 1, 2).

Parallelogramme verhalten sich zu einander, wie Dreiecke, welcheHälften der Parallelogramme sind.

2. Wenn zwei Dreiecke (Parallelogramme) gleiche Basen haben,so ist das Verhältniß ihrer Flächen dem Verhältniß ihrer Höhen gleich.

Beweis. Zieht man die Normale zur Basis AS durch S, unddie Geraden OL, SS parallel mit AS, so erhält man ASS — ASO,