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Viertes Buch. Planimetrie

Zusätze. Wenn bei zwei Dreiecken (Parallelogrammen) die Ver-hältnisse der Basen und der Höhen reciprok sind, so hat das Verhält-niß der Flächen den Werth 1, d. h. die Flächen sind einander gleich.

Wenn zwei Dreiecke (Parallelogramme) einen Winkel gleich haben,so ist das Verhältniß ihrer Flächen das Product der Verhältnisse, welche^ die jenen Winkel einschließenden Seiten des einenDreiecks zu den den gleichen Winkel einschließen-den Seiten des andern Dreiecks haben. ManD/x » findet mit Hülfe des Dreiecks AS6

XX : --- (AS : X))(>46 : ^L).

Wenn dem Dreieck das Dreieck so eingeschrieben ist,<? daß LD--a.LL7, c7L---/3.6A,

V so ist

V» OLF' : ALO --- «siy -f- (1 —«)(1 —K(1 —y).F' L Denn man hat^t/)L : XO -- (/t/)L : ^O<7)(AD<7 : AS (7) --- (1-^(1—«),ALS : ALL" --- — (l-si)/,

ALL : ASO ---- (ALL : ASO)(ASS : ALS) --- ya.

Nun ist LLL -- ALL -i- ALL -U ALL (K. 9, 9), folglichDLL : ALL -- (1—K(l—«) — (1—K? -!- ^c-,womit der angegebene Werth stimmt. Vergl. Steiner Crelle's I. 3x. 201.

4. Die Fläche einer Figur wird durch ihr Verhältniß zur Flä-cheneinheit angegeben. Als Flächeneinheit wird gewöhnlich die Qua-drateinheit gebraucht, d. h. ein Quadrat, dessen Seite die Längen-einheit ist. Denn ein Quadrat ist nicht nur als reguläre Figur durcheine Seite bestimmt, sondern es gehört auch zu den Parallelogrammen,deren Verhältnisse zu einander nach (3) gefunden werden. Die Angabeder Fläche einer Figur heißt die Quadratur (rrroo^Amo^öx) der Figur.

Man sagt abkürzend Größe statt Verhältniß der Größe zur Ein-heit, mithin Figur statt Verhältniß ihrer Fläche zur Quadrateinheit,Basis statt Verhältniß der Basis zur Längeneinheit, ju. s. s. In die-ser Bedeutung hat man (Heron's geodätische Schriften)Parallelogram Basis X Höhe,

Rectangel Länge x Breite,

Quadrat — (Seite)^,

Dreieck — HBasis x Höhe,

Kreisfläche — ^Peripherie x Radius,Kreissektor — HBogen x Radius.