K, 10. Flächenmessung.

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Beweis. Das Verhältniß eines Parallelogramms zur Qua-drateinheit wird gefunden, indem man das Verhältniß der Basis desParallelogramms zur Längeneinheit mit dem Verhältniß der Höhe desParallelogramms zur Längeneinheit multiplicirt (3). Bei einem Rect-angel werden Basis und Höhe auch Länge und Breite desselben genannt.Bei einem Quadrat sind Länge und Breite einander gleich. Ein Dreieckhat halb soviel Fläche, als ein Parallelogramm von gleicher Basis undvon gleicher-Höhe (Z. 9,2). Die Fläche des Kreises oder eines Kreis-sektors kann als Fläche eines Dreiecks aufgefaßt werden (8- 9, 4).

Wenn die Basis und die Höhe des Parallelogramms in Fußengegeben sind, so erhält man die Fläche desselben in Quadratfnßen. Umdie Fläche des Parallelogramms in Quadratzollen zu finden, nimmtman die Basis und die Höhe desselben in Zollen, u. s. w. Da einFuß 12 Zoll hat, so hat ein Quadratfuß 12^ d. i. 144 Quadratzoll.

3. Das Rectangel aus zwei Strecken (ß. 9, 5) wird in der an-gegebenen Bedeutung (4) durch das Product der Strecken ausgedrückt.Umgekehrt kann das Product von zwei Strecken, d. i. das Product ih-rer Verhältnisse zur Längeneinheit, als Fläche eines Rectangels vorge-stellt werden.

Das Rectangel, dessen Basis AL -s- SO und dessen Höhe ist,ist die Summe der Rectangel, von denen das eine die Seiten UL undUO, das andere die Seiten St? und AO hat. Folglich ist (4)

(^6 -s- --- UL.u» -s- sc.u/i,

in Uebereinstimmung mit den Regeln der arithmetischen Multiplikation(Allg. Arithm. 8- 9). Diese Regeln wurden im Alterthum geometrischdurch Flächenvergleichung abgeleitet (Luol. II).

Die Formel für die Fläche eines Parallelogramms lehrt aus derFläche und Basis des Parallelogramms seine Höhe berechnen. Wenndie Fläche / Quadrateinheiten, die Basis « Längeneinheiten hat, so hatdie Höhe (/ : «) Längeneinheiten.

Der Pythagoreische Lehrsatz (8. 9, 5) enthält die Gleichungen

-s- S62 ^ (^t/) E.U« --- AS?,

O<72 -- AO.OL,

auf welche sich Berechnungen gründen lassen. Haben die Catheten a,S, die Hypotenuse o Längeneinheiten, so ist «2 g- z >2 —, ^ folglich

6 — ^ «2-P-K2, — ^o2—-2

Hat die Seite eines Quadrats « Längeneinheiten, so hat die Dia-gonale f/^ 2«2 — «^2 Längeneinheiten. Das Verhältniß der Diago-