§.10. Flächenmessung.
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Wenn die Normalen aus einem Punct 0 zu den Seiten einesgleichseitigen Polygons von einem Kreise geschnitten werden, die erstein O, und «2,, die zweite in O, und 6-,, - so ist
oo, -st 07^2 -st . . 0(7, -st 0(7,2 -st -
vorausgesetzt, daß die Zeichen sowohl von OO,, 07^,.., als auch von0(7,, 0(7-2, - - mit den Zeichen der Dreiecke (tz. 9, 7) übereinstimmen,welche 0 mit den Seiten des Polygons bildet.*) Bestimmt man denPunct 7,! so, daß das Centrum des Kreises die Mittevon OO ist, und zieht man durch 77 die Sehne OOparallel mit 0(7, so sind K und 7' die Gegenpunctevon O und (7, weil die Sehnen gleiche Abständevom Centrum, folglich gleiche Länge und gleiche Bo-gen haben. Daher sind die Strecken 00, 0(7 denStrecken 770, 777 gleich und die Winkel (7-07', 7'7(8recht. Wenn ferner die parallelen Sehnen normalzu 770 stehn, so ist (7070 ein Rectangel, und 7/0,oo sind einander gleich. Liegen nun 77, und O,, 7/2 und Og, - - aufden Seiten eines gleichseitigen Polygons, so ist nach dem Obigen077, -s- 0772 -st 077g -st770, -st OOg -st ^ st, -st .mithin, weil 77,0, -- O, 7',, u. s. w.
OO, -st OOz -st OOz -st . . 770, -st TrOg -s- OOg -st . .
0(7, -st OO 2 —st 0(7g -st ...
8 . Es seien 7,, 72 , 7z, . . gegebene Gerade, «,, « 2 , «z, -. gegebeneZahlen, -4,0,, AgOg, AgOg, .. Strecken von 7,, 72 , 7z, .., die sich derReihe nach wie die Zahlen e„ cz, cg, . . verhalten, />,, pg, Oz, - - dieAbstände eines beliebigen Punctes O von den gegebenen Geraden, derenZeichen mit den Zeichen der Dreiecke A,O, 0 , - 4^2 0 , -PO, 0 .. über-einstimmen. Wenn nun die Summe «, 7 », -st -st «zOg -st.. vongegebener Größe sein soll, so giebt es im Allgemeinen unendlich vielPuncte 0 , die Puncte einer bestimmten Geraden, welche der Forderunggenügen.**)
Beweis. Nach den gemachten Voraussetzungen ist (4) o^i-sto^-i- ozOz -st.. — 2(-4,77, o -st A 2-62 o -st ckzOg o -j- ..). Die Summe
*) Besondere Fälle dieses Satzes haben Jacob Gregory und August bekanntgemacht- Vergl. Kunze Ptanim. x. 166-
**) Ap o llonius (oben tz. 9, 11)- Vergl. Meier Hirsch geom. Ausg. II, 251.Den besondern Fall, in welchem 3 Gerade gegeben, und die zugehörigen Zahlen Ein-heiten sind, hat Timmermanns (Gerg. -4nm 18 x. 217) betrachtet, und C. I. A.Jacobi (Entfernungsörter des Dreiecks, Progr. der Landesschule Pforta 1851 und1854) weit ausgeführt.