76

Viertes Buch. Planimetrie

zonale zur Seite eines Quadrats ist ^2, mithin irrational; die ge-nannten Strecken sind incommensurabel (Algebra 8- 1, t).

Hat die Seite eines gleichseitigen Dreiecks a Längeneinheiten, sohat die Höhe Längeneinheiten, und die Fläche

^a^3 Quadrateinheiten.

6 . Die Fläche eines Polygons wird gefunden, indem man durchseine Eckpuncte Parallelen von beliebiger Richtung zieht, davon jedeStrecke, die innerhalb des Polygons liegt, mit dem Abstand der benach-barten Parallelen multiplicirt, und die Summe der Producte durch 2

dividirt. *) ASSOLSS ^ j (6-6-, Z-

4-7),7).77z77,s.

Beweis. Die Dreiecke S,6-A, 6-6-,S,an der Basis 66,, und die Dreiecke6-z 6 , 6 , SzSgS an der Basis 62 6z ha-ben die Höhen 77„77,, 77,772> ihre Summeist (4)

4(6-6, -p S2Sz).77o772.

Ebenso findet man für die an der Basis7t, «2 liegenden Dreiecke die Summe SS, 6-,-s- S.SS, -j- 7t, 77,7' - LS.S, . 77,77,ferner S,7'S2 4- 7'S,7), - ^7'7', .77277,,

u. s. w.

7. Für jeden Punct der Ebene findet man, wenn man seine Ab-stände von den Seiten eines Polygons der Reihe nach mit den Seitenmultiplicirt und die Producte summirt, dieselbe Summe, nämlich die dop-pelte Fläche des Polygons, vorausgesetzt daß die Zeichen der Productemit den Zeichen der Dreiecke übereinstimmen; auf welche die Productesich beziehen (Z. 9, 10).

Ist das Polygon gleichseitig, so findet man für jeden Punct derEbene, wenn man seine Abstände von den Seiten gemäß der obigenRegel summirt, dieselbe Summe.

*) Die Theilung einer Fläche durch Parallelen zum Zwecke ihrer Quadraturkommt schon bei Archimedes vor. Die obige einfache Regel wird indessen in I.T. Mayer's pract. Geom. III, ß. 280 und Meier Hirsch geom. Aufg. I, ß. 25bei Behandlung dieses Problems noch nicht angetroffen; sie ist dagegen in der For-mel enthalten, welche Gauß für die Fläche eines Polygons in Schumachers Ueber-setznng von Carnot's Aöom. äs xos. II x. 362 gegeben hat.