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Viertes Buch. Planimetrie.

die Ähnlichkeit von S«j3 nnd SAS, weil der Winkel nS/Z—aSS-j-SSjS---AS«-s-«SS—ASS und So- : S/Z ----- SA : SS (tz. 11, 2). Die glei-chen Winkel ASS, A,SS,, «SsZ sind dem Winkel der ähnlichen BogenSA und SS gleich; die gleichen Winkel ASA,, SSS, sind dem Winkelder Strecken AS und A,S, gleich.

Wenn AS in 6 , A,S, in 6 , nach demselben Verhältniß getheiltwerden, so geht der Kreis 66 ,S, dessen Centrum y sei, ebenfalls durchS. Denn aus der Ähnlichkeit der Dreiecke SA 6 und SA, 6 , folgt dieGleichheit der Winkel 6 S 6 ,, ASA,, A(DA, 6 ,. Hieraus ergiebt sichdie Ähnlichkeit der Dreiecke SAA, und S 66 ,, der Bogen SA und S 6 ,der Figuren SAA,« und S 66 ,)-, endlich der Dreiecke SA 6 , SA, 6 ,, S«^-.

Wenn AA, in Az, SS, in Sz, (76, in 6 z nach demselben gege-benen Verhältniß getheilt werden, so liegen Az, S^, 6 z auf einer Ge-raden.*) Denn zufolge der Voraussetzung sind die Figuren SAA,Az,SSS,Sz, S 66 , 6z ähnlich und von einerlei Sinn. Hieraus schließtman aber wie vorhin, daß auch die Figuren SAS 6 , SA, S, 6 ,,SA^Sz 6 z ähnlich und von einerlei Sinn sind.

Insbesondere liegen auf einer Geraden « die Puncte A 2 , S 2 , 6 ^,und auf einer Geraden » die Puncte Ag, Sz, 6 z, in denen die Stre-cken AA,, SS,, 66 , innen und außen nach dem Verhältniß AS:A,S,von den Geraden getheilt werden, welche die Winkel ASA,, SSS,, 6 S 6 ,und deren Nebenwinkel halbiren (K. 8 , 6 ). Die Geraden « und n sindmit den Geraden parallel, welche den von AS und A,S, gebildetenWinkel und dessen Nebenwinkel halbiren. Denn aus der Ähnlichkeitder Dreiecke von einerlei Sinn SAS, SA,S,, SAzSz, SAzSg folgt wieoben, daß AS^AzSz^-ASAz, A,S, '-A,S, -^-A,SA,, A76A„S,, -^-ASA,,,A,S/AzSz—A,SAz. Nun wird der Winkel ASA, und sein Neben-winkel von SA.> und SAz halbirt, also bildet s mit AS und A,S, ent-gegengesetzt gleiche Winkel, n mit denselben Geraden supplementäreWinkel.

Der gemeinschaftliche Punct 7V der Geraden s und n liegt auf denKreisen A,SAz,SzSSz, 6 ,S 6 z, so daß die Figuren7VAS6 und7VA,S, 6 ,ähnlich und von entgegengesetztem Sinn sind. Denn die Winkel A^Az,SzTVSg, 62 ^ 6 , sind recht, wie A,SAz, S,SS,,, 6 ,S 6 z, folglich gehndurch S und 7V die Kreise, welche die Strecken AA,, SS,, 66 ,, innenund außen nach dem Verhältniß AS: A,S, normal schneiden. Ausdieser Lage aber schließt man (ß. 8 , 6 ), daß A7V: A,7V --- S7V : S,7V— 6 ^V : 6 ,^V — AS : A,S,, und daß der Winkel A7VA, Ac^S^A,,

Diese Gerade schneidet die Strecken AS nnd A,S, nach demselben Verhält-niß, wie man mit Hülse deS Menelaischen Satzes (Trigonom. Z. 7) erkennt.