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Viertes Buch. Planimetrie.

lehrt (Algebra ß. 4, 1), daß

^ -fi- Z,A - zA, D---^ist und mithin die gesuchte Grenze u(1 -j- zö — ^S?).

Beispiel. Aus den Werthen (3)

/g --- 0,320 364 uz -- 0,317 286findet man für die Grenze

0,317286-fi 0,001026— 0,000 0025^ 0,3183095.

Anmerkung. Die analytische Berechnung der Zahl n (Allg.Arithm. tz. 31) wurde vorbereitet durch Vieta (Klngel math. W. 11x. 606), Wallis und Brouncker, vollendet durch Jac. Gregory,Newton und Leibniz (Klügel Math. W. I x. 654).

7 . Das Nerhältniß von Bogen eines Kreises ist dem Verhältnißihrer Centriwinkel gleich. Lud. VI, 33.

Beweis. Der Winkel LA<7 enthält den mtenTheil von LAD entweder umal, oder mehr als »malund weniger als (» -j- 1)mal, d. h. LAO : LAD —» : m, oder

n : m <( LA6 : LAD <( ?r -s- 1 : m.

Die Geraden, welche den Winkel LAD in m gleiche Theile theilen, thei-len auch den Bogen SO in m gleiche Theile, weil zu gleichen Centri-winkeln gleiche Bogen des Kreises gehören (Z. 1, 6). Wenn nun derWinkel LA(7 den mten Theil von LAD »mal enthält, so enthält auchder Bogen L(7 den mten Theil des Bogens LD »mal, d. h.

Lt7 : LD - -r : m --- LAD : LAD.

Wenn aber

-r : m O LAD : LAD O n -s- 1 : m,

so ist auch

>r : M < LD: LD < >r -s- 1 : m.

Die Differenz der Verhältnisse (LD : LD) — (LAD : LAD) kann vonNull nicht verschieden sein, weil sie kleiner ist als der beliebig kleine

Bruch - . Vergl. tz. 10, 1.

8 . Wenn man unter dem Winkel sein Verhältniß zum uten Theil