Z. 13. Cyclometrie.

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Als obere Grenze hat Hugens (a. a. O. xrox. 9) L -s- ^ ^ ^ 3^

funden. Andere Grenzen der Peripherie des Kreises oder eines Bogenshatte Snellius in der Schrift O/elometiieus 1621 mitgetheilt, vondenen eine bereits beiNicolaus Cusanus (1450) vorkommt. Vergl.Klügel mach. W. IV x. 80. Den Beweis für Snellius' Begren-zung hat Hugens (a. a. O. xrox. 15 und 16) geliefert.

8 . Engere Begrenzungen der Zahl n sind von Hugens a. a. O.und von Jac. Gregorh theils in der angeführten Schrift, theils indem Anhange der Dxsi-sitstionss g-somstriess 1668 angezeigt worden.Unter den hierzu dienlichen Methoden ist folgende von Legendre (älüm.äs Rots 3) gebrauchte durch ihre Tragweite bemerkenswerth.

Wenn die Reihen / 2 , - - und r,, r,,, vz, .". dadurch gebildet 'werden, daß (3)

^ V/-5 ", ^ ^ ^

/e ^ "2 ^ ^ , u. s. w.

so nähern sich ihre Glieder einer bestimmten Grenze, weil 2Z — 2r>,also — "i < ^(/ — "), u. s. w.

Zur Berechnung dieser Grenze setze man / — r,(l -s- S) und dieGrenze — r,(1 -s-ASsi-lM), worin A, S näher zu bestimmende Coeffi-cienten bedeuten. Setzt man ferner — v, (1 -j- S^), so wird dieGrenze ----- (1 -j- AS^ -j- LS, weil dieselbe durch den vorgeschrie-

benen unendlichen Proceß eben so wohl aus und r^, als aus / undv gefunden wird. Es ist aber (Allg. Arithm. H. 32, 2)

/i --- -- 2,(1 -s- zö - zS2)

"i -- z(/i ^ "(1 -i- zs -

wenn man die höhern Potenzen von ü als unbeträchtlich klein wegläßt.Durch Division findet man

/-

- ^2

"i 1^-iS-^ö2

s, ^ ^ - zö2, ö, 2

Die Identität der Grenzen

1 ->- AS -s- SZ2 ^ (i ^

— 1 ^S — ^S2 — 1 -si ö^,

^2.

PtzS2) (1^ zus - zAS2-s-P^S2)

i ^ i

ö -

-I-

-

Z2