Viertes Buch. Planimetrie.

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Krümmung (eurv-rtur-r, oourdurs). Wenn aber diese Winkel ungleichsind, so ändert sich die Richtung der Curve ungleichförmig, die Curveist ungleichförmig gekrümmt und hat veränderliche Krümmung.Jeder Kreis ist gleichförmig gekrümmt, weil der Winkel derTangenten an den Enden eines Bogens dem Centriwinkel gleich ist (8.4, 8), und zu gleichen Bogen gleiche Centriwinkel gehören.

Unter der Krümmung eines Kreises d. i. einer gleichförmiggekrümmten Linie ist der Winkel zu verstehn, welchen die Tangenten anden Enden eines Bogens bilden, dessen Länge einer Längeneinheit gleich-kommt. Folglich hat man

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Krümmung des Kreises ^ ^

^ > Radius

weil jener Winkel dem Centriwinkel des Bogens gleich ist, der aus (8)gefunden wird. Diese Gleichung lehrt, daß bei einem Kreise, dessenRadius Einheiten hat, die Richtung um den -4cn Theil von 18(0: irsich ändert, wenn der Bogen um eine Einheit sich ändert. Man schließtferner, daß dieser Kreis den ?4en Theil so stark gekrümmt ist, als einKreis, dessen Radius eine Einheit ist; daß die Krümmung des Kreisesunendlich wird, wenn der Radius verschwindet und der Kreis mit sei-nem Centrum zusammenfällt; daß die Krümmung des Kreises verschwin-det, wenn der Radius unendlich wird und der Kreis mit einer seinerTangenten zusammenfällt.

Anwendung. Die Summe der Krümmungen der Kreise, welchevon den Seiten eines Dreiecks je eine außen, die beiden andern innenberühren, ist der Krümmung des eingeschriebenen Kreises gleich. Wenndie Seiten des Dreiecks SO, OA, AS der Reihe nach a, S, e Einhei-ten haben, wenn S, S, // die Centren der dem Dreieck eingeschrie-benen Kreise bedeuten, unter denen der erste von dem Dreieck eingeschlos-sen ist, der zweite die Seite SO außen berührt, u. s. w., wenn fernerdie Radien dieser Kreise der Reihe nach /, /r Einheiten betragenund die Fläche des Dreiecks Q. Quadrateinheiten hat, so schließt manaus den Gleichungen ASO — SOS -s- OAS -j- ASS — — OSSsi- OAS -st ASS . ., 2Q. sir —st ö -j- . ., daß

1 K —si ö -j— o

1 — a -s- ö o

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