tz. 13. Cyclometrie.
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folglich — -j-j- ^ , worin die obige Behauptung enthal-
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, 10. Eine ungleichförmig gekrümmte Linie hat im Allgemeinen in
jedem Puncte eine bestimmte Krümmung, in verschiedenen Puncren ver-schiedene Krümmungen. Um die Krümmung der Curve in einem ihrerPuncte zu berechnen, bilde man den Winkel der Tangenten des gegebe-nen Puncts und eines in seiner Nähe beliebig gewählten Puncts, oderden gleich großen Winkel der Normalen dieser Puncte (K. 3, 6). DerQuotient des so entstandenen Winkels durch den zwischen den Berüh-rungspuncten liegenden Bogen drückt die gesuchte Krümmung insoweitgenau aus, als der Bogen für gleichförmig gekrümmt gelten darf (9).Diese Boraussetznng wird erst dadurch erfüllt, daß der Bogen verschwin-det. Also ist die gesuchte Krümmung die in jedem gegebenen Falle zuberechnende Grenze, welcher jener Quotient erreicht, indem der Bogenverschwindet.
Wenn U der gegebene Punct der Curve, 6 ein beliebiger Punctder Curve in der Nähe von U ist; wenn die Normalen der Curve inU und 6 gezogen werden und die erstere von der letzter» in 6 geschnit-ten wird; wenn ferner der Kreis, dessen Centrum 0 und dessen Radius(7/l ist, die Normale (76 in 6 schneidet, so ist der Winkel A(76 demQuotienten des Bogens durch den Radius(7A gleich (8). Folglich ist der Quotient vonj A(76 durch den Bogen A6 soviel als das Pro-duct des Verhältnisses der Bogen AI) : A6 mit! der Krümmung des Kreises (0). Weil aber die
! Bogen und A6 normal zu ^4(7 sind, so berühren sie einander und
j fallen um so mehr zusammen, je kleiner der Bogen A6 und dadurchder Winkel A(76 wird. Dabei behält (7 eine endliche Entfernung von-4, wenn nicht die Curve in A die Krümmung 0 hat. Mithin ist dieKrümmung der Curve in A der Krümmung eines bestimmten Kreisesgleich, welcher unter den die Curve in A berührenden Kreisen am mei-sten mit der Curve zusammenfällt, so daß zwischen ihm und der Curveein Kreis nicht gezogen werden kann. Dieser Kreis heißt der Krüm-mungskreis (Osculationskreis) für den gegebenen Punct der Curve,sein Centrum das Krümmungscentrum, sein Radius der Krüm-mungsradius. Weit ein die Curve in A berührender Kreis, der
*) L'Huilier LIsm. ä'rmulxse Asom. ot ulxebr. x. 224. Vergl. Stereom.tz. 8, 14.