8. 14. Producte und Quadrate von Strecken.

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raden wird vorausgesetzt, daß ihre positiven Richtungen übereinstimmen;zwei parallele Strecken AS und 67) haben dann gleiche oder entgegen-gesetzte Zeichen, je nachdem die Richtung von A nach 77 mit der Rich-tung von (7 nach 7) übereinstimmt oder nicht. In dem ParallelogrammAS07) ist demnach AS 077 --- SO -st 7>A -- 0.

Ist <7 die Mitte der Strecke AS, und <7 ein beliebiger Punct derGeraden AS, so ist das Product der Strecken

AO.SO ^(AO-st 00)(00 — 077)^ 002— 0772-^ OM—^ATO-,

positiv oder negativ, je nachdem <7 die Strecke AS außen oder innentheilt.

Nach derselben Regel der Zeichen ist

A02 -st S02 --- 2A(S -st 2002 -- ^A772 -st 2602.

A02 — 7702 -- 4A0.00 --- 2AS.00,

positiv oder negativ, je nachdem O näher an 77 oder an A liegt.

2. Für alle Puncte einer Normale zu AS ist die Differenz derQuadrate ihrer Abstände von A und 77 von derselbenGröße. Wird AS von der Normale in 0 geschnitten,so ist für jeden Punct 7- der Normale nach Z. >0, 507>2 ^ A7-2 _ ^02 --- S7-2 — 7702,

folglich AS'- — 777-2 ^ ^02 __ ^(,2 ^ 2AS. 00^wenn 0 die Mitte von AS (1).

Umgekehrt schließt mau, daß die Puncte, für welchedie Differenz der Quadrate ihrer Abstände von 2 ge-gebenen Puncten von gegebener Größe ist, auf einer bestimmten Gera-den liegen, welche die Strecke der gegebenen Puncte rechtwinkelig schnei-det.') Wenn A7-2 — 777-2 — ^^2 — sM jsst ^ ist normalzu AS. Gesetzt, die Normalen zu AS durch S und O schnitten ASin 0 und 0', so wäre A7" — 777-2 — 2AS.00, AH2 ^

2AS.00-, folglich die eine Differenz von der andern verschieden.

7-

0

c-

A '

s

s

Wenn S ein beliebiger Punct der Ebene des Dreiecks ASO ist,und wenn die Seiten AS, SO, OA von den Normalen aus S in 7/,S, O geschnitten werden, so hat man

') Apotlonins im 2ten Buch der ebenen Oerter. Bergt. Sirnsons Bearbei-tung übers. von Camerer x. 209.