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Viertes Buch. Planimetrie.

durch S geht, in den Krümmungskreis übergeht, wennS mit A zusam-menfällt, so sagt man, daß der Krümmungskreis mit der Curve 3 un-endlich nahe Puncte gemein hat, deren Verein der Berührungspunct ist,und nennt seine Berührung 3punctig. Andere Kreise, welche die Curvein demselben Punct berühren, haben mit ihr wie die gerade Tangente2punctige Berührungen (Z. 3, 5).

Die Lehre von der Krümmung der Curven wurde angeregt durch Hu gen 8'Lehre von der Abwickelung der Curven (Horst, osoitt. 1673. 3ter Abschn.), und fin-det sich bereits ausgebildet bei Newton in mehrern Stellen der Drineipin (1687),besonders aber UsrnocknL üuxiounm, probt. 5 und 6 (zuerst 1736 gedruckt). Gleich-zeitig hat denselben Gegenstand Leibniz beleuchtet (Aebn Druck. 1686), von dem derAusdruck Oscillation herrührt, und Jac. Bernoulli Avts, Druck. 1662. Vergl.Klügel Math. W. III x. 398.

§ 14. Producte und Quadrate vou Strecken.*)

1. Die Strecke AS einer gegebenen Geraden habe w Längenein-heiten. Wenn die Zahl w um z/ steigt oder fällt, so bewegt sich derCndpunct S der Strecke AS auf der gegebenen Geraden vorwärts inder Richtung von A. nach S oder rückwärts in der entgegengesetztenRichtung. Wenn in dem zweiten Falle die Differenz n—r, verschwin-det oder negativ wird, so fällt der Cndpunct S mit dem Anfang A zu-sammen oder über denselben hinaus auf die andere Seite der gegebenenGeraden. Zwei Strecken AS und A0 einer Geraden habenalso Werthe von gleichen oder von entgegengesetzten Zei-chen, je nachdem die Richtung von A nach <7 mit der Rich-tung von A nach S übereinstimmt oder nicht.")

Die Strecken AS und SA sind entgegengesetzt gleich, d. h.

SA — AS, AS -st SA tt.

Wie auch die Puncte A, S, 6 auf einer Geraden liegen mögen, immer istAS -s- S0-st 0A^ 0, AS -st S0 --- A0, S0 ^ A0 — AS, u. s. W.Denn bei jeder Aufeinanderfolge der drei Puncte ist eine dieser Streckender Summe der beiden andern entgegengesetzt.

Das Zeichen irgend einer Strecke A57V ist erst dann bestimmt, wenneine Strecke derselben Geraden als positiv gegeben ist, deren Richtungdie positive Richtung der Geraden heißt. Bei parallelen Ge-

») Dieser Abschnitt ist eigentlich trigonometrisch; die in Betracht gezogenen me-trischen Relationen sind solche, die weder Winkel noch Winkelfunctionen enthalten.

»») Negative Strecken sind seit dem Anfang des 17ten Jahrhunderts, namentlichdurch Girard, Descartes n. A. in Gebrauch gekommen. Die folgerichtige Un-terscheidung der Strecken AS und SA ist aber erst von Möblus 1827 (Baryc.Calc. tz. 1) in den geometrischen Calcul eingeführt worden.