tz. 14. Producte und Quadrate von Strecken.

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Ist nun -402 — -4L'2 positiv, mithin 0 außerhalb des Kreises (^l), soist LS2 — OL- positiv, d. h. 0 von dem Kreise (77) eingeschlossen.Ebenso ist S von den übrigen Kreisen des einen Büschels ausgeschlossen,von den des andern Büschels eingeschlossen, weil nach der Voraussetzung-402 — -47)2 ^ -4,02 - -4,77,2 u. s. w. Daher ist die Gerade077S, .. von den Kreisen (^4), (^,),. . ausgeschlossen, während die Ge-rade 0-4-4, . . von den Kreisen (77), (S,), . . geschnitten wird. DieDurchschnittspuncte 6 und 0 der Geraden 0^1 und des Kreises (77liegen auf sämmtlichen Kreisen (L,), (Lz),.., weil jeder Punct der Ge-raden 0^4 in Bezug auf (S),(L,),.. gleiche Potenzen hat, deren Werthfür (7 und 7) verschwindet.

11 . Es giebt 4 Dreiecke, dieGeraden gebildet werden, -4770,-477,0„L0,-4,, 0-4,77,. Die Durch-schnitte ihrer Höhen 77, 77, , 7/2,77z liegen auf einer Geraden; dieKreise, von denen-4 und -4,, 77 und7t,, <7 und (7, Gegenpuncte sind,bilden einen Büschel; die Centrenihrer Orthogonalkreise liegen auf derGeraden 7777,.*)

jedesmal 3 unter 4 gegebenen

Beweis. Werden die Höhen der Dreiecke -4770, -477,0, durch-177, 7777, (77', -177,, 77,77,, (7,T', bezeichnet, so ist 77/1.777- die Potenzdes Punctes 77 in Bezug auf jeden durch -4 und 7) gehenden Kreis,d. h. 77 hat gleiche Potenzen in Bezug auf die Kreise-47777 und-4-4,7),ferner in Bezug auf die Kreise SOL und 7777, L, endlich in Bezug aufdie Kreise O-IT' und 0(7,7'. Nun hat 77 gleiche Potenzen in Bezugauf die Kreise-4L 7), LOL, O-IT' (7), also auch in Bezug auf die Kreise-1-4,7), 7777,77, 00,71 Ebenso erkennt man, daß 77, gleiche Potenzenhat in Bezug auf die Kreise -4-4,7),, 7777,L,, 00,7^,, welche von denKreisen -4-4,7), LS,L, 00, T' nicht verschieden sind, u. s. w. Weil je-der unter den Puncten 77, 77,, 772, gleiche Potenzen in Bezug aufdie Kreise (-1-4,), (SS,), (00,) hat, so liegen die Puncte auf einer Ge-raden (6) und die Kreise bilden einen Büschel (8).

*) Der erste Theil des Satzes, nach welchem 77, 77,, . . auf einer Geradenliegen, ist von Steiner (Crelle I. 2 p. 97) gegeben worden; der andere Theil,nach welchem die Kreise (-4(4,), . . einen Büschel bilden, rührt von Bodenmillerher nach einer Mittheilung Gudermann's (analyt. Sphärik x. 138). Vergl. Z. 8, 5und Trigon. Z. 7.