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Viertes Buch. Planimetrie.

mitbin durch Addition

ALS -st <7OA --- — (L,A,Si -st S,<7^L,).

Nun ist ALS -st LSS st- SSA -st SAL --- 0 (Z. 2, 10), also ALS-st SSA --- — (L6O -st SAL), und man erhält nach Vertauschungvon SAL mit — LAS u. s. w.

LSS — LAS -- — (L^Sst — L,AiS,).

Wenn insbesondere <7 mit IV zusammenfällt, so wird <7, unendlich fern,(st 77, verschwindet, und man hat

L7VS — LAS -- L^A^S^.

1Ä. Ueber die Verwandtschaft der nach dem angegebenen Gesetzsich entsprechenden Figuren ASSS.. und A^ L, (st S^ .. ergiebt sich Fol-gendes :

Einem Kreise entspricht im Allgemeinen ein Kreis. Die entspre-chenden Kreise liegen perspectivisch, so daß 7V ein Aehnlichkeitspunct der-selben ist. Wenn A, L, S, S auf einem Kreise liegen, und die Gera-den 7VA, 7VL, . . denselben in Az, Lz, . . schneiden, so hat man

-VA. LA, ^ IVL.LL,7VA.7VA, --- ^'L. 7V/st7VA^ ^ 7VL,.V.I

. - Nun istL, folglich

_^

2 7VL2 ' '

Hieraus folgt, daß die Figuren 7VA,L, S,..und TVAzLrGz.. ähnlich und einerlei Sin-nes sind. Nun ist AzL^Lst.. ein Kreis,folglich ist auch A^ L, (st .. ein Kreis, und7V ein Aehnlichkeitspunct dieser Kreise.

Einem Kreise, der durch 7V geht, Entspricht eine Gerade (ein un-endlich großer Kreis), die mit der durch IV gehenden Tangente des Krei-ses Parallel ist, und umgekehrt. Ist A derGegenpunct von 7V, so ist der Winkel 7VLArecht, und zufolge der Aehnlichkeit von 7VALund 7VS, A, auch der Winkel L,A,7V recht,u. f. w. *)

Daß einem Kreise ein Kreis (oder eineGerade) entspricht, erkennt man auch durch

*) Diese Sätze kommen zuerst im ersten Buch der ebenen Ocrter von Apoll 0 -nius vor. Vergl. Simsons Bearbeitung übers. von Camerer x. 47. Die obigeVerwandtschaft von Figuren, in der auch eine spharische Figur zu ihrem stereogra-Pbischen Abbild steht, ist aus allgemeinen Gesichtspuncten von Magnus (AufgabenI x. 236 und 290, Crelle's I. 8 x. 52) betrachtet, von Thomson angewandt und