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Viertes Buch. Planimetrie.
Für die Winkel des Dreiecks SL77 findet man die GleichungenS77L --- A6S — A77S ^ 6A77 — 6S7777SS ^ 6SA — 677A -- 77AS — 776L77S/7 — SA 6 — S776--- SA 6 — S776.
Denn S7777 — S77A -fi A77L — S77A A6S. Hiervon sublra-hirt man die Gleichung S77A -fi 77A6 -s- A6S -j- 6S77 --- 0, undsetzt — A77S an die Stelle von S77A, 6A77 an die Stelle von— 77A6. U. s. W.
Anmerkung. Wenn A auf den Kreis S677 fällt, so fallen S,,(7i, 77^ mit A zusammen. Die unendlich nahen Puncte S, , (7, , 77§liegen auf einer Geraden, so daß 6)77^ -s- 77^ s^ -i- 0 in
der oben (10) angegebenen Bedeutung.
Der zweite Beweis ruht auf denselben Gründen, wie der alte Be-weis des Ptolemäischen Satzes. Wenn A auf dem Kreise S677 liegt,so ist 2(6A77 — 6S77) --- 0, folglich 2S77L ---- 0, d. h. L liegt ausder Geraden S77, u. s. w.
Umgekehrt schließt man aus der Gleichung
AS.677 fi- A6.77S -s- A77.S6 --- 0,daß die Puncte A, S, <7, 77 auf einem Kreise liegen. Wenn A nichtauf dem Kreise S677 läge, so würden die Producte AS. 677, A6.SS,A77.S6 sich zu einander verhalten wie die Seiten eines Dreiecks; alsokönnte weder die Summe noch die Differenz von zweien unter diesenProducten dem dritten gleich sein.
Wenn insbesondere A, S, (7 auf einer Geraden liegen, so schließtman aus der obigen Gleichung, daß 77 auf derselben Geraden liegt.Läge 7) nicht auf der Geraden AS, so würde L auf der Geraden A77,also nicht auf 77/7 liegen, u. s. w.
17 . Wenn zwei Sehnen AS, (777 eines Kreises (717) in (7 sichrechtwinkelig schneiden, so ist
A02 s()2 -fi 6(72 Do? ^ 4A7I/2,
AS^ -fi 6772 ^ 8A.1/2 — 4(77172.**)
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Beweis. Nach dem Pythagoreischen Lehrsatz istA(72 -fi 602 ^ ^ 4 ( 72 , S02 -I- 7702 -- S772.Die Summe der Bogen A6, S77 ist ein Halbkreis(tz. 4, 5). Macht man nun den Bogen 6L^-S77,so ist der Bogen AS ein Halbkreis, mithin A62
-s- 67? A7?, d. h. A62 -fi S772 4AA72.
Ferner ist AO.OS --- 60.077 --- A7I72 — 07172
(0 Der erste von diesen Sätzen ist das Ute Lemma bei Archimedes; der an-dere ist von Carnot (§som. äs xos. 134) nebst mehrern Folgerungen gegebenworden.