Z. 14. Producte und Quadrate von Strecken. 125

(3), A02 -- (AO -st 00)2 ^ A(0 st- 2AO.OO -st 002, u. s. W.,folglich

A02 st_ M2 ^ A02 -st 002 -st (702 u- /)02 -1- 4A7I/2 - 40ä/2woraus die Behauptung sich ergiebt.

Anmerkung. Der Satz und sein Beweis behalten ihre Richtig-keit, wenn die Sehnen außerhalb des Kreises sich schneiden. Die SummeA(0 -st 0(0 -st (702 -st o(0 ist unabhängig von der Länge der nor-malen Sehnen AS und (70. Die Summe A/O -st (702 bleibt unver-ändert, wenn für die normalen Sehnen AO, (70 der Abstand ihresDurchschnittspunctes 0 vom Centrum sich gleich bleibt.

18 . Wenn (7 die Mitte von A und O, und O ein beliebigerPunct ist, so hat man

A02 st- 002 — 2A(72 st- 2002.

Beweis. Zieht man OO normal zuAO, so ist A02 st- 002 --- 2A(72 st- 2002ll), folglich A02 -st- 002 st- 002 -st 002— 2A02 -st 2002 st_ 2002, d. i. A02 st-002 ^ 2AO2 st- 2002 pem Pytha-goreischen Lehrsatz.

Zusätze. Jeder Punct, dessen Quadratabstände von zwei gegebe-nen Puncten eine gegebene Summe haben, liegt auf einem Kreise, dessenCentrnm die Mitte der gegebenen Puncte ist.*) Wenn A(0 -st 0(0von gegebener Größe ist, so ist 2A(0 st- 2(7(0, folglich auch 00 vongegebener Größe.

Wenn AA,, O/si, 0(st,.. parallele Sehnen des Kreises (O) sind,0 ein Punct auf dem parallelen Diameter, sosind die Summen OA2-stOA^ 002st-00^2,..

von gleicher Größe. **) Ist das Centrum (V die Ast--!--XA,

Mitte von OO, und der Radius (VÄ/ normal zu ^ ^ - O L ,

OO, so hat man ost ^ /o

0A2 -st OA2 -- 002 st_ 20.4/2. V /

Nun sind die Dreiecke OTVA und OTVA^ gleich ^

und ähnlich, d. h. Ost — OA,, u. s. w.

*) Apollonius im 2ten Buch der ebenen Oerter: Simsons Bearbeitung übers.von Camerer p. 263 ff. Vergl. unten 22.

Lah ire Uem. äs llnris ä'oms 9 iI73v) x. 341 llsmrng. I.