ß. 14. Producte und Quadrate von Strecken.

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3), u. s. W. Folglich 2L7^" -j- 27^" ^7777^" ^ ^2 (I 9 -,, oder

4S" -s- 67)" — 2L77," - 1 - 27^7-","

7)0' -j-- 7)4" -- 27-^" -st 2 SO/4(7" - 1 - 777)' --2SS," -st 2LL,".

Älus diesen Gleichungen findet man ohneWeiteres:

.477" -s- (77)" -st 2SS," ^ 77(7"-st7)4"-st 2L77," -- 4(7" -st 777)" -s 27^"477" -st77 6" j (77)" - 1 7)4" -^4 (7" -st 777)" -st 4^," *)

477" -st 77(7" -st (77)" -st -st40" -st 777)"^ 477L, " -st 4^ " st- 4SS, ".

21 . Bei einem Dreieck ist das Quadrat der einen Seite, jenachdem dieselbe einem spitzen oder stumpfen Winkel gegenüberliegt, klei-ner oder großer als die Summe der Quadrate der beiden andern Sei-ten. Die Differenz ist das doppelte Prodnct von einer dieser Seitenmit dem Stück, welches von ihr durch die Nor-male aus dem Ende der andern Seite abgeschnit-ten wird.*'*)

Beweis. Wenn (77) und 4L normal zu 477und 77(7 sind, so ist (2)

477" st 77(7" — (724" -- 4S" st- 7)S" — 47)"

--- LL" -st SO" — 0L".

Nun ist 477 - 4 /) st- 7)77, 77(7-- 7777 -st 77(7(1),folglich

.477" -I- 7)77" - 7)4" --- 2.177. 7)777777" -st 77(7" — 077" ^ 2/7(7.7777.

Wenn der Winkel 77 spitz ist, so hat 7)77 mit 477 , 77/7 mit 77(7 einer-lei Richtung, und die Producte 2/177.7)77, 277(7.77L sind positiv. Wennaber der Winkel 77 stumpf ist, so sind die Strecken .477 und 7)77 , 77(7und 7777 entgegengesetzt, und die Producte 2477.7)S, 277(7.7777 nega-tiv (1). Die Gleichheit der Producte 4S. 7)S und 77(7. 7777 wird durchdie Aehnlichkeit der Dreiecke 777)0 und 77774 bestätigt.

22 . Wenn 0 auf der Geraden 4)7 so liegt, daß 4(7:4S — m,

*) Euter 1750 Mov. doinm. ketrop. 1 x. 66). Die beigeordneten Gleichun-gen findet man in Gerg. Ann. 2 x. 316.

") Luel. II, 12 und 13.