tz. 14. Producte und Quadrate von Strecken.

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ausgedrückt werden. Zieht man im Dreieck U27(7die Höhe 6^ (7 normal zu A27, und hat die Flächedes Dreiecks/X Quadrateinheiten, so ist (ß. 10,4)/X -- <7^ 6, 16XV ^ 4AL'. (7X

Zugleich ist (21)

(A2^ ^ §<7- — ^2)2 ^ 4U27X2^6' -st (7^' -- E,

folglich

162X' -j- (AS" -I- — <7.4st' --- 4AöX270X

Haben die Seiten S27, (7A, A27 der Reihe nach a, b, s Längeneinheiten,so findet man

16/V --- 4a-S' — («^ -st L' — e')'

4S'o' — (i? -st — a')'

-- 4o'a' — (-? -st a' — S-)'

2«V -j- 2b^e^ -st 2s^a^ — — o^

a'(— a' -st S' -st o') -st L-st? — S' -st e') -st «V -st b' — o').

Nach den Regeln über die Multiplikation ist 4 «V — (»^ ->-L^ —das Prodnct der Factoren 2aö-st«^-stb^— <?, 2«b— ->-<?,

(a -I- — <?, — (a — Kst, welche wiederum Producte von je 2

Factoren sind. Also ist auch

16^x^ (a -s- ö -st e)(— er -st ö -st e)(a — ö -st o)(er -st ö — e).

Setzt man a -s- b -st 6 — 2s, d. h. den halben Perimeter des Drei-ecks — s, so wird

— K -st b -st o — 2s — 2aa — b -st e — 2s — 2b

a -st ö — c — 2s — 2e

und man erhält nach Division durch 16

/)? — S)(s — e). *)

Um diese Formel geometrisch zu beweisen, bezeichne man durch 2)und 2* die auf der Halbirenden des Winkels Aliegenden Centren der Kreise, welche die Seitendes Dreiecks AS(7 berühren, und die Normalen2)2)', 2^2" zu AL durch Ä, /, so daß /X ^ SÄ(tz. 13, 9). Die Dreiecke A2>2> und U22", 2>'272)und 2"2^L sind ähnlich d. h.

Ä : / — A2>' : A2", <2/ 2)'L.S2"

*1 Dieser Satz nebst einem geometrischen Beweis kommt zuerst in Hcron'sgeodätischer Schrift rrsP (O-irir««? vor. Der solgende geometrische Beweis ist eben-falls alten Ursprungs und in Leonardo krLotlsn sssomstrins (1220) sä. Lonoom-pLAni x. 40 enthalten. Vergl. einen Aussatz des Vers. in den Leipziger Berichten1865 p. 3.

Baltzex. II. 2. Aufl.

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