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Viertes Buch. Planimetrie.

Durch Multiplication findet man

„ 4D422^.L2-"

^ ^ -4^-'

Nun ist (8. 4, 8)

242)' -s- L(7 -- (74 -j- 4S, 42)' — s

22)'27 -s- (74 ^ 4L -s- SO, 2)'L - -- s

242^' — 27(7 — (74 -j- 4S, 4/." ---- .?

und L2-" — s — o, folglich

^2 ^ (s — a)(L — L)(s — e)§

u. s. w.

a

L

Zusatz. Das Product der Radien von den Kreisen, welche dieSeiten des Dreiecks berühren, hat den Werth 2>^.*) Bezeichnet mandiese Radien durch ck, /, F, ä, so hat man (ß. 13, 9)

(a -Z S -i- o)2 ^2^, (— a Z- - -s- o)/ -- 2^,

(a — ö -s- e)^ — 22^, (« -s- b — o)H — 2/^,

folglich

(a-j-L-s-e)(—a-s-S-j-e)(a—ö-s-e)(a-j-S—chck/'S'ä — 16 ^^,

2L. Das Produet von zwei Seiten eines Dreiecks ist dem Pro-duct von dem Diameter des umgeschriebenen Kreises mit der Höhe zurdritten Seite gleich.**) Ist 42) normal zu L(7, und 4L ein Diame-ter des dem Dreieck 4S(7 umgeschriebenen Kreises, so sind die rechtwin-keligen Dreiecke 4L2) und 4L(7 ähnlich, weil die Winkel 22)L4 und20L4 gleich sind. Daher hat man

4S : 42) ----- 4L : 4(7, 4L. 4(7 ------ 42).4L.

6

Dasselbe Product kann auf andereWeise ausgedrückt werden, indem mandie den Winkel L4(7 und seinen Ne-benwinkel Halbirenden zieht, welche dieGerade L(7 in 2? und (2, den Kreisin 2Z und (?i schneiden.***) Dannsind die Dreiecke 4(72^ und 42ZL ähn-lich, weil die Winkel 4(72^ und 427, L,274(7 und 2742^ gleich sind. Daher

*) Mahieu 1807 und L'Huilier 1809. Vergl. Gerg. Ann. 1 x. 150.

**) Diese Bemerkung scheint zuerst in der indischen Astronomie von Brahme-gnpta (Anfang des 7ten Jahrh. n. Chr.) vorzukommen. Vergl. Chasles nx. bist.x. 475 d. Uebers. Die Arbeiten der indischen Mathematiker. werden auf griechischeOriginale zurückgeführt.

"*) S chooten exsroit. mntb. 1657 x. 65.