Z. 2. Winkel und Abstände von Ebenen und Geraden.

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Geraden a und ö enthalten und zu den parallelen Ebenen «e und Sänormal stehn (4).

Die Puncte 6 und 77 der Geraden a und S haben von einandereinen kleinern Abstand, als irgend welche andere Puncte / und 8 der-selben Geraden. Zieht man 768 parallel mit 6/7, so ist der Winkel87-./ recht, .7/6 > 7-8, 7-8 -- 6/7, also .77/ > 6/7.

R«. Eine Gerade, die eine Ebene nicht normal schneidet, bildetmit den Geraden der Ebene verschiedene Winkel, mit ihrer Normalpro-jection auf die Ebene den kleinsten spitzen und den größten stumpfenWinkel. Deshalb versteht man unter dem Winkel, den eine Gerademit einer Ebene bildet, den Winkel, welchen sie mit ihrer Normalpro-jection auf die Ebene bildet.*)

Es sei 6 die Normalprojection des Punctes -4, 776 die Normal-projection der Geraden 8-4 auf Pie gegebene Ebene, der Winkel -486spitz, und 87) eine Strecke der Ebene, die mander Strecke 776 gleich macht. Während nun derWinkel 6*777) von 0 bis 180" wächst, so wächst indem Dreieck 6/77) die Seite 67) von 0 bis^2776(Plannn, tz. 5, 5). Dabei wächst in dem recht-winkeligen Dreieck -467) die Hypotenuse -48 von-46 bis zur Hypotenuse eines rechtwinkeligen Drei-ecks, dessen Catheten 2776 und 64 sind. Alsowächst auch in dem Dreieck -488 der Winkel AST)von -186 bis 180» — -486.

Wenn der Winkel 6/77) — 90» ist, so ist 88 eine Normale derEbene A86, weil die Ebenen -486 und 886 normal zu einander stehn,folglich -4/77) ----- 90». Wenn die Winkel 6777) und 688 entgegenge-setzt gleich sind, so sind die Winkel -487) und -488 gleich.

Der von der Geraden -48 mit der Ebene -867) gebildete spitzeWinkel ist das Complement des Winkels 7V8-4, den die Normale 777Vder Ebene mit der Geraden 77-4 bildet. Dieser letztere Winkel heißtin der Optik der Jncidenzwinkel des Strahls -48 in Bezug auf dieEbene 868.

Während der Winkel 688 von 0 bis 90» und dann von 90» bis180» wächst, so fällt der Flächenwinkel -4886 von 90» bis -486 undsteigt dann wieder bis auf 90». Zieht man 6/* normal zu 87), so ist

') Luol. XI äsl. 5 und Option 37 ff. Pappus VI, 44.