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Fünftes Buch. Stereometrie.
heißt die Potenz des Punctes in Bezug auf die Kugel; seinWerth ist das Quadrat einer von -4 an die Kugel reichenden Tangente,oder Null, oder das negative Quadrat der halben (kleinsten) Sehne,deren Mitte >4 ist, je nachdem der Punct .4 von der Kugel (K) ausge-schlossen ist, oder auf ihr liegt, oder von ihr eingeschlossen ist.
7. Zwei Kugeln (-4) und (S) haben einen Kreis gemeiu, dessenCentrum auf der Geraden AS liegt und dessen Ebene normal zu der-selben Geraden steht, wie man aus der Betrachtung ihrer auf einerEbene liegenden Hauptkreise erkennt (Planim. Z. 3, 3). Der von denKugeln in einem gemeinschaftlichen Punct gebildete Flächenwinkel wirddurch den Winkel angegeben, den die nach dem gemeinschaftlichen Punctgehenden Radien bilden (tz. 2, 5. Anm.); also schneiden sich die Kugelnlängs des gemeinschaftlichen Kreises unter denselben Winkeln.
Der gemeinschaftliche Kreis der Kugeln ist nur dann real, wenndie Radien und der Abstand der Centren Seiten eines Dreiecks sind.Er fällt mit seinem Centrum zusammen, so daß die Kugeln sich berüh-ren, wenn der Abstand der Centren der Summe oder der Differenz derRadien gleichkommt. Er wird imaginär, so daß eine Kugel die andereganz ein- oder ausschließt, wenn der Abstand der Centren kleiner ist alsdie Differenz oder größer als die Summe der Radien.
In jedem Falle ist die Ebene des gemeinschaftlichen Kreises realund vermöge der Eigenschaft construirbar, daß jeder Punct der Ebenein Bezug auf die beiden Kugeln gleiche Potenzen besitzt (Planim. ß.14, 6 ff.). Die von den Kugeln ausgeschlossenen Puncte dieser Ebenesind Centren von bestimmten Qrthogonalkugeln der Kugeln (A)und (S), d. h. von Kugeln, welche die Kugeln (-4) und (S) rechtwinke-lig längs je eines Kreises schneiden.
8. Drei Kugeln (-4), (S), (6) haben im Allgemeinen zwei Punctes und <2 gemein, welche symmetrisch zur Ebene der Centren AS<7 lie-gen, so daß die Strecke S<2 von der Ebene AS(7 normal halbirt wird.Denn die Dreiecke S<2A, S<2S, S<2L' sind gleichschenkelig und dieMitte ihrer gemeinschaftlichen Basis liegt aus der Ebene ASO (ß. 2, 2).
Die gemeinschaftlichen Puncte S und <2 können in ihrer Mitte zu-sammenfallen, oder imaginär werden. In jedem Falle ist die Gerade,aus der die gemeinschaftlichen Puncte getrennt oder vereint liegen oderdie Realität verloren haben, real und durch die Eigenschaft bestimmt,daß jeder Punct der Geraden in Bezug auf die 3 Kugeln gleiHe Po-tenzen besitzt. Denn sie liegt auf den Ebenen, deren Puncte in Bezugauf jedes Paar der Kugeln gleiche Potenzen haben.
Zu 4 Kugeln (A), (S), (6'), (S) giebt es im Allgemeinen einen