Z. 3. Kegel, Cylinder und Kugel.

163

Punct, der in Bezug auf dieselben gleiche Potenzen hat. Denn dieGerade, deren Puncte in Bezug auf die Kugeln (A), (S), (6H gleichePotenzen haben, hat mit der Ebene, deren Puncte in Bezug auf dieKugeln (A) und (S) gleiche Potenzen haben, einen Punct gemein.

Wenn insbesondere 3 Kugeln von solcher Größe und Lage sind,daß ihre auf einer Ebene liegenden Hauptkreise einen Büschel (Planim.tz. 14, 6) bilden, so bilden die Kugeln einen Büschel d. h. es giebteine Ebene, deren Puncte in Bezug auf die Kugeln gleiche Potenzen be-sitzen. Aus dieser Ebene liegt der reale oder imaginäre Kreis, welchendie Kugeln des Büschels gemein haben. Eine andere Ebene schneidetden Büschel der Kugeln in einem Büschel von Kreisen.

S. Ein Punct, der von 2 gegebenen Puncten A und S gleicheAbstände hat, liegt auf der Ebene, welche die Strecke AS normal hal-birt und zu welcher die Puncte A und S symmetrisch liegen (tz. 2, 2).Ein Punct, dessen Abstände von A und S ein gegebenes Verhältnißhaben, liegt auf der Kugel, welche die Strecke AS nach dem gegebenenVerhältniß innen und außen normal schneidet (Planim. tz. 8, 6).

Ein Punct, der von 3 gegebenen Puncten A, S, (7 gleiche Abständehat, liegt auf der Geraden, welche die Ebene ASS im Centrum desKreises AS<7 normal schneidet (tz. 2, 7).

Zu 4 Puncten A, S, <7, S giebt es im Allgemeinen einen Punct,der von ihnen gleiche Abstände hat, das Centrum der Kugel AS6S.*)Denn die Gerade, deren Puncte von A, S, 6 gleich fern sind, hat mitder Ebene, welche die Strecke AS normal halbirt, einen Punct gemein,der von A, S, <7, /) gleich fern ist. Denselben Punct haben die Ebe-nen gemein, welche die 6 durch die 4 gegebenen Puncte begrenzten Stre-cken normal halbiren. Wenn die Puncte A, S, 0, S auf einer Ebeneliegen, so ist das Centrum der Kugel AS<7S auf einer Normale derEbene ASO unendlich fern, und die Kugel unterscheidet sich nicht vondieser Ebene. Wenn insbesondere die Puncte A, S, <7, S auf einemKreis liegen, so sind alle Puncte der Geraden, welche die Ebene desKreises in seinem Centrum normal schneidet, von den gegebenen Punc-ten gleich fern.

Demnach ist eine Kugel durch 4 Puncte bestimmt, die nicht aufeinem Kreis liegen; also auch durch einen Kreis und einen danebenliegenden Punct, durch 2 Kreise, die 2 Puncte gemein haben z. B. durchdie Kreise AS<7 und ASS. Zwei Kreise, die in einem Punct sichschneiden, können nicht auf einer Kugel liegen. Zwei Kreise, die sich

h Fermat äs eontaet. 8pb. Opp. p. 74.

11 *