tz. 4. Sphärik.

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Beweis. Legt man den Kinkel O des Dreiecks llOO auf denWinkel (7, des Gegendreiecks ll, 77, 6', , so fallen vie Bogen Oll, OO,längs der Bogen 0,0,, 0,ll,) aber es fällt weder ll auf O,, noch Oauf ll,, außer wenn Oll — 0,0, OO ist. Einem Betrachter, derauf der 'Außenseite der Kugel die sich entsprechenden Seiten llO, ll,0,der Dreiecke llOO, ll,0, 0, zurücklegt, liegt O zur Linken, O, zurRechten.

Wenn 0 das Centrum der Kugel, O die Normalprojection von 0auf die Ebene llOO ist, und die Gerade OO die Kugel in O und O,schneidet, so sind die planen Dreiecke OOll, OOO, 000 gleich undähnlich, mithin sowohl die Winkel OOll, OOO, 000, als auch dieBogen Oll, OO, OO gleich. Die gleichschenkeligen sphärischen DreieckeOllO, OOO, OOll haben aber mit ihren Gegendreiecken O,ll, O,,O,O,0,, O, 0,ll, der Reihe nach gleiche Flächen, also sind auch dieFlächen llOO und ll,0,0, einander gleich. Bergt. Planim. Z. 9, 9.

3. Wenn in einem sphärischen Dreieck die Seiten und Winkeleinzeln weniger als 180" betragen, so ist die Summe seiner Winkelgrößer als 180", und die Differenz zwischen dieser Summe und 180"heißt der Exceß des sphärischen Dreiecks. Die Fläche des sphärischenDreiecks ist der Fläche eines zweirechtwinkeligen sphärischen Dreiecksgleich, dessen dritter Winkel der Exceß des gegebenen sphärischen Drei-ecks ist.*)

Beweis. Die Summe der sphärischen Winkel (2) llOll,0,O0O,ll, Oll, 0,0, übertrifft die von dem Hanptkreis ll0ll,0, einge-schlossene Halbkugel, auf welcher der Punct 0 liegt, um die DreieckellOO und ll,O,0,. Also beträgt die Summe der Winkel OllO-s-OOll-s-llOO mehr als 180". Die DreieckellOO und ll,0,0, haben gleiche

Aehnlichkeit von Raumfiguren deren Congruenz nicht nothwendig verbunden ist.Vergl. Dnel. XI, 26. llrvdim. Oonoiä. st 8pb. 20. Die später bisweilen nber-sehene Jncongruenz eines sphärischen Dreiecks und seines Gegendreiecks wurde unterden Neuern bestimmt ausgesprochen von Gegner 1741. Vergl. Klüget Math. W.4 p. 859. Den obigen Beweis für die Gleichheit jener inkongruenten Flächen hatLegendre von einem ungenannten ausländischen Mathematiker erhalten und in denLIsm. äs Avoin. VII, 21 (2te Ansg. 1800) mitgetheilt. Inkongruente gleiche undähnliche Raumfiguren werden häufig nach Legendre (6eom. VI, äsk. 16) sym-metrisch genannt.

*) Dieser Satz ist durch Girard (Invention nouvells sn slAsbrs 1629) be-kanntgeworden, der ihn aber unvollkommen bewiesen hat. Mit dem obigen einfachenBeweis wurde derselbe Satz von Cavalieri (Oirsotorinm Asneruks ursnomstri-sum 1632) mitgetheilt. Die Regel für die Berechnung der Fläche eines sphärischenPolygons wird von Broscius upoloAiu llristot. st llnel. 1690 p. 78 ,,ex unti-gnis in Vitsllonem notw" angesucht. Diese Hinweisung sowie die Notiz desselbenAutors p. 79: äsmonstrutio umxlituäinis unAuIi soliäi rskortur ub II. Lri^muä Vli. Rurriotum -- ermangeln bis jetzt der weitem Bestätigung.