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Fünftes Buch. Stereometrie.
Flächen (4), folglich ist die doppelte Fläche -4S(7 die Differenz zwischender Summe der genannten drei sphärischen Winkel und einer Halbkugel,d. i. ein sphärischer Winkel, dessen Schenkel im Scheitel um den Exceß-6^46 -j- 6SA -p A6S — 180" von einander abweichen.
Der Hauptkreis, welcher die Schenkel eines sphärischen Winkelshalbirt, theilt den sphärischen Winkel in zwei gleichschenkelige sphärischeDreiecke mit einer gemeinschaftlichen Basis, an welcher rechte Winkelliegen (ß. 2, 1 und 4). Die gleichschenkeligen Dreiecke sind congruem,folglich ist jedes von ihnen halb so groß als der sphärische Winkel.Also ist die Fläche eines sphärischen Dreiecks der Fläche eines zwei-rechtwinkeligen sphärischen Dreiecks gleich, dessen dritter Winkel der Ex-ceß des gegebenen sphärischen Dreiecks ist.
Anmerkung. Wenn sphärische Dreiecke verschiedener Kugelngleiche Flächen haben, so hat das Dreieck der größer» Kugel den klei-nern Exceß. Auf einer unendlich großen Kugel kann ein sphärischesDreieck einen endlichen Exceß nicht haben, die Excesse aller sphärischenDreiecke verschwinden. Ein unendlich großer Hanptkreis ist aber geradeund eine unendlich große Kugel plan, wenn gemäß der in der gemeinenGeometrie üblichen Annahme bei zwei parallelen Geraden, die von einerdritten Geraden durchschnitten sind, die Summe der innern Winkel 180"beträgt.
Als Einheit der sphärischen Flächen wird das zweirechtwinkeligesphärische Dreieck genommen, dessen dritter Winkel eine Einheit der Win-kel ist. Wenn man nun, wie gewöhnlich, unter der Fläche ihr Verhält-niß zur sphärischen Flächeneinheit, unter dem Winkel sein Verhältnißzur Winkeleinheit versieht, so ist die Fläche des sphärischen Dreiecks sei-nem Exceß gleich.
Hiernach ist ein sphärischer Winkel doppelt so groß als der Win-kel, unter welchem die ihn einschließenden Hauptkreise sich schneiden.Für die Fläche eines sphärischen Polygons von n Seiten findet man(mit Rücksicht aus Plannn. K. 9, 10) die Summe seiner Winkel ver-mindert um (n — 2). 180".
Wenn zwei sphärische Dreiecke gleiche Summen ihrer Winkel ha-ben, so haben sie gleiche Flächen. Wenn zwei sphärische Polygone gleicheSummen ihrer Winkel haben, so sind ihre Flächen gleich oder sie un-terscheiden sich um eine ganze Anzahl von Viertelkugeln.
8 . Die Hauptkreise, welche einen gegebenen Hauptkreis normalschneiden, gehn durch einen Punct (und dessen Gegenpunct), den Pol(und Gegenpol) des Hauptkreises. Die Bogen, welche diePuncte des Hauptkreises mit seinem Pole verbinden, sind Quadranten.