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Fünftes Buch. Stereometrie.

Seiten, Winkel, Flächen einer von 4 Hauptkreisen gebildeten sphärischenFigur (1).

4. Die Ebenen, welche je eine Kante des Tetraeders und dieMitte der gegenüberliegenden Kante enthalten; die Geraden, welche dieMitten der gegenüberliegenden Kanten verbinden; die Geraden, welchedie Spitzen des Tetraeders mit den Schwerpunkten der gegenüberliegen-den Flächen verbinden, —gehn durch einen Punct, den Schwerpunkt

des Tetraeders.*) Sind O und L" dieMitten von >4(7 und SO, 2? unddie Mitten von S<7 und ^.O, 6 und6^ die Mitten von >4S und 6/), so sindLOS'/", OSO'(S, OOO'S' concentrischeParallelogramme, die Mittelschnittedes Tetraeders. Vergl. Planim. tz. 8,3. Die Ebenen >4(777 und SOS schnei-

den sich in der Geraden L.L7, u. s. w. Die gemeinschaftliche Mitte Sder Strecken LS, /'/", (/(/' liegt auf jeder von den Ebenen >4SO',<7OO, . . . Die Geraden OS, 77S schneiden die Dreiecke .47t6, >4<7Oin ihren Schwerpunkten S, </, weil >4S und SL Mittellinien des Drei-ecks >4/7(7 sind, u. s. w. (Planim. Z. 8, 4).

Dabei ist 7/7/ parallel mit SS, und 7/^7 : S7) —1:3, weilLS: SS -- L/ : SO ^ 1 : 3; also /7S: SO 1 : 3, d. h. der

Schwerpunct des Tetraeders theilt die Geraden, welche die Spitzen desTetraeders mit den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Flächen ver-binden, nach dem Verhältniß 3. Die Schwerpunkte der Flächen einesTetraeders sind die Ecken eines ähnlichen Tetraeders, welches mit demerstern perspektivisch liegt. Vergl. unten (17) und Planim. 12, 8.

3. Wenn zwei Tetraeder eine Ecke und die anliegenden Kantender Reihe nach gleich und ähnlich haben, so sind sie gleich und ähnlich,d. h. die Flächen, Kanten, Winkel, Ecken des einen sind den gleichliegen-den Stücken des andern der Reihe, nach gleich und ähnlich, und ihreVolume sind gleich. Die beiden Tetraeder sind aber nur dann kon-gruent, wenn ein Paar gleiche und ähnliche Ecken kongruent sind. Indem entgegengesetzten Falle wird die Gleichheit der Volume durch Zer-legung der inkongruenten Tetraeder in kongruente Tetraeder erkannt.**)

*) Commandinus äs osntro Arnvitatis 1565, prox. 17. 22. Aus Archi-medes' Büchern über die schwimmenden Körper fleht man, wie Commandinoselbst angiebt, daß Archimedcs die Schwerpunkte auch von zusammengesetzteren Kör-pern bestimmt hat.

**) Diesen Beweis hat Legendre (Osoiu. Hots 7, 2te Ausg.) aus derselben