214 Fünftes Buch. Stereometrie.

dern sHgur perspektivisch und der Puncts der innere Aehnlichkeits'-punnctder beiden Figuren.*)

^.7. Die Polyeder.

1. Wenn ein Polyeder (tz. 6, 1) / Flächen, « Ecken und b Klon-ten hat, so ist / -s- e b -s- 2.**)

Beweis. Durch Wegnahme eines der Polygone, aus denen tdasPolyeder besteht, behält man ein offenes Polyeder von /—I Flächen» eEckpunkten und b Kanten. Nimmt man vom Rande desselben ein Po-lygon weg, so behält man ein offenes Polyeder von — 2 Mä-

chen, — e Eckpunkten und b, -- I- — 1 Kanten. Nimmt man womRande desselben wiederum ein Polygon weg, so behält man ein offemesPolyeder von /z — /i — 1 Flächen, «2 — «i — m Eckpunkten uind^2 — — 1 Kanten. U. s. w. Dabei ist

/ — 1 -s- « — I- --- ^ — L, P «2 ^ ^2 ^ - -

Endlich bleibt 1 Polygon mit ebensoviel Eckpuncten als Kanten (Seilten)übrig. Also ist / — 1 -j- s — L ----- 1, / -f e — b ---- 2.

Anmerkung. Wenn man Polyeder so zusammenstellt, daß wedereine Fläche des einen von einer Fläche des andern, noch eine Ecke deseinen von einer Ecke des andern gedeckt wird, so erhält man ein u m -eigentliches Polyeder, bei welchem die Anzahlen der Flächen, Eckenund Kanten von dem obigen Zusammenhang mehr oder weniger sichentfernen. ***)

Wenn man ein Polyeder durch Hinzufügung von Ecken und Flä-chen in eine Summe von n Polyedern zerlegt, an denen es im Ganzen

*) Euter äs oentro similituäiuis 1777 (dlov. Lot. ketrox. 9 x. 154).Magnus analyt.-geometr. Aufgaben II x. 89 ff. Bergt. §. 59 fs. der eitirten Ab-handlung.

**) Dieses Grundgesetz der Polyedrometrie kommt zuerst vor in einem 1869 her-ausgegebenen Fragment von Descartes (Oeuvres insäitss äs Ossourtes p. N-I'ouober äs Oureil, II p. 214). Bergt, einen Aussatz des Berf. im Monatsberichtder Bert. Acad. 1861 x. 1943. Bekannt gemacht wurde das Geictz zuerst durch denneuen Entdecker desselben Euter (1752> iVov. Oomm. kstrop. 4 p. 199, bewiesenvon Euter (x. 156), Cauchy (I. äs iRo. pohck. Oak. 16 x. 771 und GrunertlCrelle I. 2 x. 367), August Progr. d. köln. Realgymn. Berlin 1854 p. 4, v.Staubt Geom. d. Lage 49, ferner durch Betrachtung von Winkelsnmmen sphärischeroder planer Polygone von Legendre Geom. VII, 25, L'Huilier (Gerg. Ann. 3x. 178) und Steiner (Crelle I. 1 x. 364).

***) Poinsot I. äs l's^o. xoF't. Oalr. 19 p. 46, L'Huilier a. a. O. undHessel Crelle I. 8 x. 13. Ein gemeines Polyeder wird bisweilen (nach Hesse»ein Euler'sches Polyeder genannt. Angemessener wäre es, ein uneigentliches Polye-der mit einem besondern Namen zu versehn.