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Fünftes Buch. Stereometrie.

Ein reguläres Polyeder, dessen Flächen Fünfecke sind, kann nurdreiseitige Ecken haben und hat deren 20 (3, IV) nebst 12 Fläch eni (3,III), und heißt ein Dodekaeder. Es können nicht alle Flächen Seechs-ecke sein.

Davon bilden das Tetraeder mit sich selbst, Oktaeder und Hexae-der, Icosaeder und Dodekaeder je ein Paar, so daß jeder meckiigenFläche des einen Polyeders eine inseitige Ecke des andern entspricht!

3 . Unter halb regulären (Archimedeischen) Polyeder:»*)werden solche verstanden, die gleiche und ähnliche Ecken haben, eimge-schlossen von regulären Flächen verschiedener Arten. Denselben zmge-ordnet sind solche Polyeder, die gleiche und ähnliche Flächen haben, inndan jeder Fläche reguläre Ecken verschiedener Arten.

I. Wenn das Polyeder nur mseitige Ecken hat, so ist (3)

21 — ms — 2e -s- 2/ -— 4,

Die möglichen Fälle sind (2)

m — 3, 21 — 3ö — 6 (/ — 2),

m 4, 1 -- 2s -- 2 (/ — 2),

m --- 5, 21 --- 5« ^ — 2).

II. Wenn an jeder Ecke des Polyeders « «eckige, /S Leckige, y«eckige, . . Flächen liegen, so ist

21 -s- § -j- . .)s.

Auf dem Polyeder giebt es «e Winkel, die den «eckigen Flächen ange-hören, und den «ten Theil soviel Flächen von dieser Art, u. s. w., folg-lich ist

Vermöge der Gleichung 2/ -s- 2s — 21 ---- 4 hat man also

« — j? — .. >s — 4

*) Die von Archimedes entdeckten halbregulären Polyeder sind von PappusV, Einleitung zu prox. 18 beschrieben worden. Keppler (bnrmoniee innnäi II,28) hat dieselben abgeleitet und abgebildet. Vergl. Meier Hirsch geom. Aufg. IIx. 127 fs. Die halbregulären Polyeder, welche den Archimedeischen polar zugeordnetsind, finden sich zuerst in I. H. T. Müller's Trigonometrie 1852 x. 345 erwähnt.