ß. 6. Die Polyeder.

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oder

2 —

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« -

--)«- 4 .*)

Der Subtrahend hat seinen geringsten Werth, wenn « —jS 1,

« -^ 3, - — 4, . . . Nun ist aber also

giebt es kein Polyeder, dessen Ecken sämmtlich auf gleiche Weise vonmehr als dreierlei Polygonen eingeschlossen werden.

III. Wenn alle Ecken des Polyeders auf gleiche Weise von «»eckigen, ^ -eckigen und 7 oeckigen Flächen eingeschlossen sind, und eineder Zahlen «, S, o, z. B. » ungerade ist, so muß eine der Zahlen« — 1, ich 7 mindestens 2 betragen.**) Vereinigt man mit der ersten,dritten, fünften,. . Seite eines «Ecks jedesmal eine Seite eines »Ecks,so treffen zuletzt an einer Ecke drei »Ecke zusammen. Vereinigt manmit der ersten, dritten, fünften,.. Seite des »Ecks jedesmal eine Seiteeines -Ecks, so treffen zuletzt au einer Ecke zwei -Ecke zusammen. Da-her kann nicht jede der Zahlen « — 1 , A weniger als 2 betragen.

IV. Hiernach ergeben ^sich als möglich

Archimedeische Polyeder mit dreiseitigen Ecken:

Jede Ecke wird von einem »Eck und zwei -Ecken eingeschlossen. DieZahl - muß gerade sein (III). Man hat (II)

und erhält folgende Auflösungen

»» 3 3 3 4 5

b 4 6 8 10 6 6

e 2» 12 24 60 24 60

Ein Polyeder dieser Art hat ^ «eckige und ^ -eckige Flächen.

Wird jede Ecke von einem «Eck, einem -Eck und einem «Eck ein-geschlossen, so müssen «, -, o gerade Zahlen sein. Die Gleichung

hat nur zwei Auflösungen