Fünftes Buch. Stereometrie.

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/- wird durch eine mit der Basis parallele Ebene, deren Abstand vonder Spitze L ist, in einer der Basis ähnlichen Figur geschnitten. Manbat also für diesen Querschnitt

und findet durch die Substitution — 0, «i ^ 0, «2 — ^ aus derallgemeinen Formel das Volum der Pyramide

^2 3

wie früher ß. 8, 10.

10 . Newton hat gezeigt, wie man ein Körpersegment aus meh-rern seiner parallelen Schnitte (eine plane Fläche aus mehrern paralle-len Sehnen derselben) annäherungsweise berechnen kann, und daß maninsbesondere aus 3 Querschnitten, die in gleichen Abständen folgen, daseingeschlossene Segment annäherungsweise findet, wenn man die äußernQuerschnitte und den vierfachen Mittelschnitt addirt und die Summemit dem sechsten Theil des Abstands der äußern Querschnitte multipli-cirt.*) Zu den Newton'schen Formeln hat Maclaurin 1742 (bllu-xlons no. 848) Ergänzungsglieder hinzugefügt, welche sofort erkennenlassen, daß die angeführte besondere Regel das gesuchte Segment genaugiebt, wenn der oben durch /(m) bezeichnete Querschnitt eine ganze Funk-tion der Länge m ist, die den dritten Grad nicht übersteigt.**) Seg-mente, die durch dieselbe Regel genau gefunden werden, sind von Tor-ricelli, Th. Simpson***) und besonders von Steiner a. a. O.angezeigt worden.

Um die Tragweite der obigen Regel zu prüfen, bemerke man, daßdas Segment zwischen /(O) und /(4) die Summe der Segmente zwi-schen /(0) und /(2) und zwischen /(2) und /(4) ist. Wenn nun /O)

') Nsilwäns äibkerentiLllg xrox. 6, weiter ausgeführt von Totes (über New-tons ruküb. äiik. in den nachgelassenen Werken 1722), verfeinert von Gauß (Lletlr.iiovn inbeKrnllnm valores eto. 1814, (komm. UöttüiA. t. 3). Berat, darüber dieLehrbücher der Analysis z. B. Minding I x. 230. Die besondre Regel war vonTorricelli gegeben worden, wie Peretli berichtet im Anhang zu Uni llo UrnnäiIrstitnrioni äsllo sorioni ooniefte, Istrsnns 1744.

") Lrnnneoi oomxsnäio äel ealoolo sndliius, WInno 1811, II p. 67. Au-gust im Progr. des Tötn. Realghmn. Berlin 1849 x. 28 und Crelle I. 45 x. 239.

***) Nntb. äisssrtntions 1743, x. 109. Die Newton'sche Regel wird deshalb zu-muten nach Th. Simpson benannt. Richtiger nennt man Simpson'sche Regeleire andere Regel, welche Th. Simpson a. a. O. aus jener zur annähernden Berech-nung des Segments einer Fläche oder eines Körpers aus einer Mehrzahl von Quer-schnitten abgeleitet hat (Klügel mach. W. 4 x. 150).