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Fünftes Buch. Stereometrie.
7. 00, . . durch parallele 'Verschiebung zusammengesetzt d. h. ein ausden Strecken a.0^1, ^.OL, . ., (« -s- jS 4- 7 -s- . .)§0 durch paral-lele Verschiebung zusammengesetztes Polygon ein geschlossenes ist. Ziehtman durch die Puncte ^1, L, O, . ., parallele Gerade von beliebigerRichtung, welche eine beliebige Ebene in L4 O', . S" schneiden,so besteht die Gleichung
Oe iZ-j- y -s- . -s- /Z.DL' ch 7.00' 4- . . .
Der so durch die Puncte >4, L, 0, . . und die Proportion der Coefsi-cienten « : ^ : / : . . bestimmte Punct Z heißt der Schwerpunctder Puncte «.^ 4, /I./t, 7.0, . . .*)
Beweis. Durch den Punct O ziehe man beliebig die nicht aufeiner Ebene liegenden Geraden O^, OV, OLl und projicire die gegebe-nen Puncte /l, /I, 0, . . auf O^s, 0)ll, 0^ durch Ebenen, welche derReihe nach mit den Ebenen 01^, 02^, OH parallel sind. Die Pro-jektionen von ^4 werden durch ^4,., ^4,, ^4, bezeichnet, u. s. w. Manbestimme nun auf 0^, OV, 0^ die Puncte L'^., S,, >8, durch die Glei-chungen
0.8' --
«.O^ 4- ^.OS^ -P 7.00^
«. 0^4
0§, -- - >
« -s- ^ -b- y -s- - --s- OS, 4- 7. 00, Z- .« ^ - 4 - 7 .
«. 0^ -j- ^. OL, --j- 7.00, -j- . .
^ « 4- /; 4 7 4" - -
und construire den Punct K, dessen Projektionen äl,, s, sind, inwelchem sich demnach drei bestimmte projicirende Ebenen schneiden. Diedrei Gleichungen, wenn sie auf Null reducirt sind, geben zu erkennen,daß jedes aus den Strecken -r.0^4, /Z.OL, 7. 00 ,.., ch-i-74 ..)K0durch parallele Verschiebung zusammenzusetzende Polygon ein geschlosse-nes ist (1). Wenn man daher die Puncte ^4, S, 0, . ., S, 0 durchparallele Ebenen von beliebiger Stellung auf eine beliebige Gerade 7»projicirt, so verschwindet die Summe der Projektionen von «. 0^4, ^. OS,7.OO, ..,(«4-/14-74-. -)K0. Die Projektionen von 0^4, OL,
*) Die Schwerpunkte von physischen Körpern (massiven Figuren) sind zuerst vonArchimedes untersucht worden (vorn Gleichgewicht der Ebenen und von den schwim-menden Körpern, je zwei Bücher). Die aus den Archimedischen Gesetzen fließendeden Schwerpunct charakterisirende Gleichung (Gleichung der Momente) steht an derSpitze von Commandino's Schrift äs osntro Kruvrtstis 1565. Rein geometrischwurde der Schwerpunct aufgefaßt und behandelt von L'Huilier (poh^onoinstris1789), Carnot (^som. äs Position 1803), umfassend von Möbrus (Baryccntr.Calcul. 1827). Ueber den obigen Satz vergl. Baryc. Calc. 8 und Meier Hirschgeom. Aufg. II x. 330.